(Colégio Naval-90) Os lados do triângulc medem: \mathrm{AB}=2 ; \mathrm{Ac}=2 \sqrt{3} e \mathrm{BC}=4. A área da intercessão entre o círculo de centro B e raio \overline{B A} o círculo de centro C e raio \overline{C A} e o triângulc ABC, é:
a) \frac{3 \pi}{2}-2 \sqrt{3}
b) \frac{4 \pi}{3}-2 \sqrt{3}
c) \frac{5 \pi}{4}-2 \sqrt{3}
d) \frac{5 \pi}{3}-2 \sqrt{3}
Passo 1
O enunciado dá um triângulo ABC com
AB=2,\quad AC=2\sqrt3,\quad BC=4,
e pede a área da região comum ao triângulo ABC e aos dois discos: um de centro B e raio BA e outro de centro C e raio CA. Note que por Pitágoras
AB^2+AC^2=2^2+(2\sqrt3)^2=4+12=16=BC^2,
logo \angle A=90^\circ. Para achar essa área, vamos usar coordenadas polares com origem em A e decompor o integral em três faixas angulares.
Passo 2
Escolhemos
A=(0,0),\quad B=(2,0),\quad C=(0,2\sqrt3).
Em coordenadas polares (r,\theta) (com \theta medido a partir do eixo x\ge0), as interseções da reta BC e dos dois círculos são dadas por