(Colégio Naval-90) Os lados do triângulc medem: \mathrm{AB}=2 ; \mathrm{Ac}=2 \sqrt{3} e \mathrm{BC}=4. A área da intercessão entre o círculo de centro B e raio \overline{B A} o círculo de centro C e raio \overline{C A} e o triângulc ABC, é:
a) \frac{3 \pi}{2}-2 \sqrt{3}
b) \frac{4 \pi}{3}-2 \sqrt{3}
c) \frac{5 \pi}{4}-2 \sqrt{3}
d) \frac{5 \pi}{3}-2 \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com
AB=2,\quad AC=2\sqrt3,\quad BC=4,
e pede a área da região comum ao triângulo ABC e aos dois discos: um de centro B e raio BA e outro de centro C e raio CA. Note que por Pitágoras
AB^2+AC^2=2^2+(2\sqrt3)^2=4+12=16=BC^2,
logo \angle A=90^\circ. Para achar essa área, vamos usar coordenadas polares com origem em A e decompor o integral em três faixas angulares.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0),\quad B=(2,0),\quad C=(0,2\sqrt3).
Em coordenadas polares (r,\theta) (com \theta medido a partir do eixo x\ge0), as interseções da reta BC e dos dois círculos são dadas por
\text{reta }BC:\;r_{\rm tri}(\theta) =\frac{2\sqrt3}{\sin\theta+\sqrt3\cos\theta},
\text{círculo em }B:\;r_B(\theta)=4\cos\theta,í
\text{círculo em }C:\;r_C(\theta)=4\sqrt3\sin\theta.í
A região buscada é
0\le r\le \min\bigl(r_{\rm tri}(\theta),\,r_B(\theta),\,r_C(\theta)\bigr), \quad 0\le\theta\le\frac\pi2.

Passo 3

Determinamos onde cada função domina o mínimo:
  • r_B(\theta)=r_C(\theta) em \theta=30^\circ.
  • r_C(\theta)=r_{\rm tri}(\theta) em \theta=15^\circ.
  • r_B(\theta)=r_{\rm tri}(\theta) em \theta=60^\circ.
    Fazendo um estudo de sinais, conclui-se que
\min(r_B,r_C,r_{\rm tri})= \begin{cases} r_C(\theta),&0\le\theta\le15^\circ,\\\ r_{\rm tri}(\theta),&15^\circ\le\theta\le60^\circ,\\\ r_B(\theta),&60^\circ\le\theta\le90^\circ. \end{cases}

Passo 4

A área é
\iint_R dA =\int_{0}^{15^\circ}\!\int_{0}^{r_C}\!r\,dr\,d\theta +\int_{15^\circ}^{60^\circ}\!\int_{0}^{r_{\rm tri}}\!r\,dr\,d\theta +\int_{60^\circ}^{90^\circ}\!\int_{0}^{r_B}\!r\,dr\,d\theta.
Calcula-se em cada faixa:
  1. \displaystyle I_1=\int_{0}^{\pi/12}\frac12\,r_C^2\,d\theta =\frac12\int_0^{\pi/12}48\sin^2\theta\,d\theta =\pi-3.
  2. \displaystyle I_2=\int_{\pi/12}^{\pi/3}\frac12\,r_{\rm tri}^2\,d\theta =6\int_{\pi/12}^{\pi/3}\frac{d\theta}{(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta)^2} =3-\sqrt3.
  3. \displaystyle I_3=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac12\,r_B^2\,d\theta =\frac12\int_{\pi/3}^{\pi/2}16\cos^2\theta\,d\theta =\frac{2\pi}{3}-\sqrt3.
Somando,
\text{área} =I_1+I_2+I_3 =(\pi-3)+(3-\sqrt3)+\Bigl(\tfrac{2\pi}3-\sqrt3\Bigr) =\frac{5\pi}3-2\sqrt3.á

Resposta

d) \displaystyle \frac{5\pi}{3}-2\sqrt3

Exercícios de Livros Relacionados