(Colégio Naval-84) A secante ® à uma circunferência de 6 cm de raio determina uma corda AB de 8 \sqrt{2} \mathrm{~cm} de comprimento. A reta (s) é paralela a ® e tangência a circunferência no menor arco AB . A distância entre (\mathrm{r}) e (\mathrm{s}) é de:
a) 6 cm
b) 10 cm
c) 5 cm
d) 4 cm

Passo 1

Resumindo, temos uma circunferência de raio 6 cm e uma reta (r) que corta a circunferência gerando uma corda AB de comprimento 8\sqrt{2} cm. Queremos a distância entre (r) e uma reta (s) paralela a (r) e tangente à circunferência no arco menor AB. Vamos usar geometria de círculos: a distância do centro à corda e a distância do centro à tangente.

Passo 2

Seja d a distância do centro da circunferência à corda AB. Como o comprimento da corda é dado por
AB = 2\sqrt{R^2 - d^2},
temos
8\sqrt{2} = 2\sqrt{6^2 - d^2} \quad\Longrightarrow\quad 4\sqrt{2} = \sqrt{36 - d^2} \quad\Longrightarrow\quad 36 - d^2 = 32 \quad\Longrightarrow\quad d^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad d = 2\text{ cm}.

Passo 3

A reta tangente (s) que é paralela a (r) está a uma distância igual ao raio da circunferência, ou seja, a 6 cm do centro.

Passo 4

Ambas as retas estão em lados opostos do centro? Não: a reta (s) toca a circunferência pelo arco menor AB, que fica do mesmo lado de (r) onde está o centro. Logo, a distância entre (r) e (s) é a diferença entre suas distâncias ao centro:
\bigl|6 - 2\bigr| = 4\text{ cm}.

Resposta

d) 4 cm

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