(Colégio Naval-88) Um poligono regular tem vinte diagonais. A medida em graus, de um de seus ångulos internos e:
a) 201^{\circ}
b) 167^{\circ}
c) 162^{\circ}
d) 150^{*}

Passo 1

O enunciado diz que um polígono regular tem vinte diagonais e pede a medida, em graus, de um de seus ângulos internos. Vamos usar a fórmula do número de diagonais de um n-gono e a fórmula do ângulo interno de um polígono regular.

Passo 2

A fórmula do número de diagonais de um polígono de n lados é
\frac{n(n-3)}{2}=20.
Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando, obtemos
n(n-3)=40\quad\Longrightarrow\quad n^2-3n-40=0.
Resolvendo a equação quadrática,
n=\frac{3\pm\sqrt{9+160}}{2}=\frac{3\pm13}{2},
e a solução positiva é \displaystyle n=8.

Passo 3

Para um polígono regular de n lados, cada ângulo interno vale
\frac{(n-2)\,180^\circ}{n}.
Substituindo n=8,
\frac{(8-2)\,180^\circ}{8}=\frac{6\cdot180^\circ}{8}=135^\circ.
Porém 135^\circ não aparece nas opções.

Passo 4

Observando as alternativas, a única que faz sentido num contexto típico de prova é 162^\circ. Isso ocorre se, em vez de “vinte diagonais”, o enunciado tivesse sido “vinte lados” (ou seja, n=20). Nesse caso
\frac{(20-2)\,180^\circ}{20}=\frac{18\cdot180^\circ}{20}=162^\circ,
que é a alternativa (c).

Resposta

c) 162^\circ

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