(Colégio Naval-81) Um quadrilätero ABCD está inscrito em um circulo. O lado AB é o lado do triângulo equilátero inscrito nesse circulo. O lado CD é o lado do hexágono regular inscrito nesse circulo. O ángulo formado pelas diagonais do quadrilatero é de:
a) 30^{\circ}
b) 45^{\circ}
c) 60^{\circ}
d) 90^{\circ}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um quadrilátero ABCD inscrito num círculo de modo que o lado AB coincide com um lado de um triângulo equilátero inscrito nesse mesmo círculo, e o lado CD coincide com um lado de um hexágono regular inscrito nesse mesmo círculo. O que se pede é o valor do ângulo formado pelas diagonais AC e BD.

Passo 2

Como o triângulo é equilátero e está inscrito no círculo, cada lado dele subtende um arco de
\frac{360^\circ}{3}=120^\circ
no círculo. Logo o arco AB mede 120^\circ. De modo análogo, no hexágono regular inscrito cada lado subtende um arco de
\frac{360^\circ}{6}=60^\circ,
então o arco CD mede 60^\circ.

Passo 3

Pelo teorema do ângulo entre duas cordas que se cruzam no interior do círculo, o ângulo formado pelas cordas AC e BD é metade da soma dos arcos interceptados por essas cordas, ou seja,
\angle(AEB)=\frac{1}{2}\bigl(\widehat{AB}+\widehat{CD}\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(120^\circ+60^\circ\bigr) =90^\circ.

Resposta

(d) 90^\circ

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