(Colégio Naval-81) A diagonal de um pentágono regular convexo de lado igual a 2 cm , mede, cm cm :
a) \sqrt{5}+2
b) \sqrt{5}-2
c) \sqrt{5}
c) \sqrt{5}+1

Passo 1

O enunciado pede a diagonal de um pentágono regular convexo de lado igual a 2 cm. Vamos usar geometria de polígonos regulares e a Lei dos Cossenos para encontrar essa diagonal.

Passo 2

Em um pentágono regular, cada ângulo interno mede
\frac{(5-2)\cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ.
A diagonal une dois vértices não consecutivos e, junto com os dois lados adjacentes (cada um de comprimento 2), forma um triângulo isósceles com lados 2,2 e ângulo entre eles de 108^\circ.

Passo 3

Aplicamos a Lei dos Cossenos ao triângulo de vértices A,B,C, onde AB=BC=2 e AC=d é a diagonal:
d^2 = 2^2 + 2^2 - 2\cdot 2\cdot 2 \cos(108^\circ).

Passo 4

Sabemos que
\cos(108^\circ) = -\cos(72^\circ) = -\frac{\sqrt{5}-1}{4}.
Substituindo:
d^2 = 4 + 4 - 8\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{4} = 8 -2(1-\sqrt{5}) = 6 + 2\sqrt{5}.

Passo 5

Observamos que
6 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5}+1)^2,
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d = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} = \sqrt{5} + 1.

Resposta

\sqrt{5} + 1

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