(Colégio Naval-80) Do ponto \mathbf{P} exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a circunferência nos pontos M e N de maneira que \overline{\mathrm{PN}}=3 \mathrm{x} e \overline{\mathrm{PM}}=\mathrm{x}-1. Do mesmo ponto P tiramos outra secante que corta a mesma circunferência em R e S , de maneira que \overline{\mathrm{PR}}=2 \mathrm{x} e \overline{\mathrm{PS}}=\mathrm{x}+1. O comprimento do segmento da tangente à circunferência tirada do mesmo ponto \mathbf{P}, se todos os segmentos estão medidos em cm é:
a) \sqrt{40} \mathrm{~cm}
b) \sqrt{60} \mathrm{~cm}
c) \sqrt{34} \mathrm{~cm}
d) 10 cm
Passo 1
O enunciado dá um ponto externo P a uma circunferência e duas secantes a partir de P. Na primeira secante os pontos de interseção são M e N com
PN = 3x,\quad PM = x - 1.
Na segunda secante os pontos de interseção são R e S com
PR = 2x,\quad PS = x + 1.
O conteúdo envolvido é o Teorema do Poder de um Ponto, que diz que, para um ponto externo P, o produto dos comprimentos dos segmentos de qualquer secante que parte de P é constante e igual ao quadrado da tangente a partir de P.
Passo 2
Aplicamos o Teorema do Poder de um Ponto a cada secante. Para a primeira secante:
PM \cdot PN = (x - 1)\cdot 3x = 3x(x - 1).
Para a segunda secante:
PR \cdot PS = 2x \cdot (x + 1) = 2x(x + 1).
Passo 3
Igualamos as duas expressões de potência para determinar x: