(Colégio Naval-94) Para que valores de \mathbf{k} e \mathbf{p}
  • sistema : \left\{\begin{array}{c}k x-6 y=5 k-3 p \\\ (k-4) x+2 y=4 k+3\end{array}\right. indeterminado?
    a) k=20 e p =3
    b) k=10 ер -6
    c) k=10 e p=3
    d) \mathrm{k}=3 \mathrm{e} \mathrm{p}=20

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em x,y\) dependente dos parâmetros \(k\) e \(p\): \[\begin{cases} k\,x - 6\,y = 5k - 3p,\\\ (k-4)\,x + 2\,y = 4k + 3. \end{cases}
Queremos os valores de k\] e \(p para que o sistema seja indeterminado, ou seja, tenha infinitas soluções. Para isso precisamos que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero (sistema degenerado) e que o sistema seja consistente (as equações sejam proporcionais).

Passo 2

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes
\Delta = \begin{vmatrix} k & -6\\\ k-4 & 2 \end{vmatrix} = k\cdot 2 - (-6)\cdot (k-4) = 2k +6(k-4) = 8k - 24.

Passo 3

Impor \Delta=0 para degeneração:
8k - 24 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 3.

Passo 4

Substituir k=3\) e exigir que a segunda equação seja múltiplo da primeira, garantindo consistência: com \(k=3\) o sistema vira \[\begin{cases} 3x - 6y = 15 - 3p,\\\\ -\,x + 2y = 12 + 3 = 15. \end{cases}
Os coeficientes da segunda equação são (-\tfrac13] vezes os da primeira, logo o termo independente deve obedecer
15 = -\tfrac13\,(15 - 3p).
Resolvendo:
15 = -\tfrac13\,(15 - 3p) \;\Longrightarrow\; -45 = 15 - 3p \;\Longrightarrow\; -60 = -3p \;\Longrightarrow\; p = 20.

Resposta

d) k = 3 e p = 20.

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