COLÔNIA DE BACTÉRIAS Um aluno de medicina que está estudando o crescimento de colônias de bactérias em certo meio de cultura compilou os seguintes dados:
Número de minutos020
Número de bactérias6.0009.000
Use esses dados para escrever uma função exponencial da forma Q(t)=Q_{0} e^{k t} que expresse o número de bactérias na colônia em função do tempo. Quantas bactérias estão presentes após uma hora?

Passo 1

O enunciado fornece duas medidas do tamanho da colônia: 6000 bactérias em t=0 minutos e 9000 bactérias em t=20 minutos. O modelo de crescimento é exponencial da forma
Q(t) = Q_{0}e^{k t}.
Para resolver, vamos usar esses dois pontos para determinar Q_{0} e k.

Passo 2

Em t=0 temos
Q(0)=Q_{0}e^{k\cdot0}=Q_{0},
e como Q(0)=6000, concluímos
Q_{0}=6000.

Passo 3

Em t=20 minutos,
Q(20)=6000\,e^{20k}=9000.
Isolando k:
e^{20k}=\frac{9000}{6000}=1,5
20k=\ln(1,5)
k=\frac{\ln(1,5)}{20}.

Passo 4

Substituindo Q_{0} e k na fórmula geral, obtemos
Q(t)=6000\exp\!\Bigl(\frac{\ln(1,5)}{20}\,t\Bigr).

Passo 5

Para t=60 minutos (uma hora):
Q(60)=6000\exp\!\Bigl(\frac{\ln(1,5)}{20}\times60\Bigr) =6000\,e^{3\ln(1,5)} =6000\,(1,5)^{3} =6000\times3,375 =20250.

Resposta

Q(t)=6000\exp\!\bigl(\tfrac{\ln(1,5)}{20}\,t\bigr)
Após uma hora ( t=60), há 20250 bactérias.

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