PRODUTO INTERNO BRUTO Um economista compilou os seguintes dados a respeito do Produto Interno Bruto (PIB) de certo país:
Ano19952005
PIB (bilhões)100180
Use esses dados para prever qual será o valor do PIB no ano 2015 se o PIB estiver aumentando:
a. Linearmente, de modo que PIB=a t+b.
b. Exponencialmente, de modo que PIB=A e^{k t}.

Passo 1

O enunciado nos dá o PIB de um país em dois pontos no tempo: em 1995 valeu 100 bilhões e em 2005 valeu 180 bilhões. Precisamos prever o valor em 2015 usando dois modelos de crescimento: linear e exponencial. Para simplificar a conta, definimos a variável t como o número de anos desde 1995, isto é, t=0 em 1995, t=10 em 2005 e t=20 em 2015.

Passo 2

No modelo linear, assumimos
\text{PIB}(t)=a\,t+b.
Usamos as condições
\begin{cases} a\cdot 0 + b = 100,\\\ a\cdot 10 + b = 180. \end{cases}
Da primeira equação vem b=100. Substituindo na segunda:
10a + 100 = 180 \quad\Longrightarrow\quad 10a = 80 \quad\Longrightarrow\quad a = 8.
Logo o modelo é \text{PIB}(t)=8t+100. Para t=20:
\text{PIB}(20)=8\cdot 20 + 100 = 160 + 100 = 260.

Passo 3

No modelo exponencial, assumimos
\text{PIB}(t)=A\,e^{k t}.
As condições são
\begin{cases} A\,e^{k\cdot 0} = A = 100,\\\ A\,e^{k\cdot 10} = 180. \end{cases}
Da primeira, A=100. Da segunda:
100\,e^{10k} = 180 \quad\Longrightarrow\quad e^{10k} = 1{,}8 \quad\Longrightarrow\quad 10k = \ln(1{,}8) \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln(1{,}8)}{10}.
Então
\text{PIB}(t)=100\,e^{(\ln(1{,}8)/10)\,t}.
Para t=20:
\text{PIB}(20)=100\,e^{2\ln(1{,}8)} =100\bigl(e^{\ln(1{,}8)}\bigr)^{2} =100\,(1{,}8)^{2} =100\cdot 3{,}24 =324.

Resposta

a. 260 bilhões.
b. 324 bilhões.

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