Por que o \ln z é muito mais complicado do que o \ln x ? Explique de memória.

Passo 1

O enunciado quer comparar a função real \ln x com a função complexa \ln z, mostrando por que esta última é muito mais complicada. O conteúdo envolve análise complexa básica: representação polar de números complexos, definição de argumento e a noção de multivaloridade e corte de ramo (branch cut).

Passo 2

Para começar, lembraremos a definição de \ln x no domínio real positivo. A função
\ln x
é definida para x>0, é injetora, contínua e unívoca, e satisfaz
\ln(xy)=\ln x + \ln y\,,\quad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\,.
Não há ambiguidades, pois o domínio (0,\infty) é simplesmente conexo e não há “voltas” em volta de um ponto singular.

Passo 3

No caso complexo, qualquer z\in\mathbb{C}\setminus\{0\} podemos escrever em coordenadas polares:
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 e \theta=\arg(z). Então a definição formal é
\ln z = \ln r + i\,\theta.
Porém, diferente de \ln x, o argumento \theta não é único:
\arg(z)=\theta + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo existe uma família infinita de valores de \ln z, uma para cada inteiro k.

Passo 4

Para obter uma única “fatia” dessa família, escolhe-se um ramo (branch) de \arg(z). Por exemplo, o ramo principal usa
\text{Arg}(z)\in(-\pi,\pi],
e define-se
\mathrm{Log}\,z = \ln|z| + i\,\text{Arg}(z).
Mas essa escolha introduz um corte de ramo (tipicamente o eixo real negativo), onde \mathrm{Log}\,z deixa de ser contínua. Se quisermos “voltar” em torno da origem, trocaríamos de folha na superfície de Riemann, o que deixa clara a necessidade de múltiplas folhas e anéis de continuidade.

Passo 5

Em resumo, \ln z é mais complicado porque
  1. É multivalorada por causa de \arg(z).
  2. Precisa de corte de ramo para ficar bem definida e contínua num domínio simplesmente conexo.
  3. Tem ponto de ramificação em 0 e, se circundarmos a origem, saltamos entre diferentes folhas da superfície de Riemann.
Esses fenômenos não ocorrem em \ln x, que é única e contínua em todo seu domínio.

Resposta

A complexidade extra de \ln z vem do fato de que seu argumento \theta é definido módulo 2\pi, gerando multivaloridade, exigindo cortes de ramo e levando ao conceito de superfície de Riemann, enquanto \ln x é uma função única e contínua no domínio (0,\infty).

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