Por que o
é muito mais complicado do que o
? Explique de memória.
Passo 1
O enunciado quer comparar a função real
com a função complexa
, mostrando por que esta última é muito mais complicada. O conteúdo envolve análise complexa básica: representação polar de números complexos, definição de argumento e a noção de multivaloridade e corte de ramo (branch cut).
Passo 2
Para começar, lembraremos a definição de
no domínio real positivo. A função
é definida para
, é injetora, contínua e unívoca, e satisfaz
Não há ambiguidades, pois o domínio
é simplesmente conexo e não há “voltas” em volta de um ponto singular.
Passo 3
No caso complexo, qualquer
podemos escrever em coordenadas polares:
onde
e
. Então a definição formal é
Porém, diferente de
, o argumento
não é único:
Logo existe uma família infinita de valores de
, uma para cada inteiro
.
Passo 4
Para obter uma única “fatia” dessa família, escolhe-se um ramo (branch) de
. Por exemplo, o ramo principal usa
e define-se
Mas essa escolha introduz um corte de ramo (tipicamente o eixo real negativo), onde
deixa de ser contínua. Se quisermos “voltar” em torno da origem, trocaríamos de folha na superfície de Riemann, o que deixa clara a necessidade de múltiplas folhas e anéis de continuidade.
Passo 5
Em resumo,
é mais complicado porque
- É multivalorada por causa de
. - Precisa de corte de ramo para ficar bem definida e contínua num domínio simplesmente conexo.
- Tem ponto de ramificação em
e, se circundarmos a origem, saltamos entre diferentes folhas da superfície de Riemann.
Esses fenômenos não ocorrem em
, que é única e contínua em todo seu domínio.
Resposta
A complexidade extra de
vem do fato de que seu argumento
é definido módulo
, gerando multivaloridade, exigindo cortes de ramo e levando ao conceito de superfície de Riemann, enquanto
é uma função única e contínua no domínio
.