Se você conhece os valores de \sqrt[6]{1}, como é possível a partir deles obter os valores de \sqrt[6]{z} para um z qualquer?

Passo 1

O enunciado pergunta como, conhecendo as seis raízes sextas de 1, podemos construir as seis raízes sextas de um número complexo genérico z. Para isso, vamos usar a forma polar de z e a propriedade de que as raízes de z se obtêm multiplicando-se uma raiz principal pelas raízes de 1.

Passo 2

Escrevemos z em forma polar, isto é,
z = r e^{i\theta},
onde r = |z| é o módulo de z e \theta = \arg(z) é um argumento escolhido.

Passo 3

A raiz sexta principal de z (correspondente a k=0) é
\alpha = \sqrt[6]{r}\,e^{i\,\theta/6}.

Passo 4

Sabendo que as seis raízes sextas de 1 são
\zeta_{k} = e^{2\pi i\,k/6},\quad k=0,1,2,3,4,5,
basta multiplicar \alpha por cada \zeta_{k} para obter todas as raízes de z.

Passo 5

Portanto, os seis valores de \sqrt[6]{z} são
\sqrt[6]{z} \;=\;\Bigl\{\;\sqrt[6]{r}\,e^{i(\theta/6 + 2\pi k/6)}\;\Bigm|\;k=0,1,2,3,4,5\Bigr\}.

Resposta

\sqrt[6]{z} = \Bigl\{\sqrt[6]{r}\,e^{i(\theta+2\pi k)/6}\;\Big|\;k=0,1,2,3,4,5\Bigr\}.

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