Qual é a condição para que a desigualdade x^2-2(m+2) x+m+2>0 seja verificada para todo número real x ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de m tais que
x^2-2(m+2),x+(m+2)>0
para todo xinR.
Isso é uma inequação quadrática. Como o coeficiente de x^2 é positivo, basta garantir que o discriminante seja negativo para que o polinômio seja sempre positivo.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral ax^2+bx+c:
a=1,
b=-2(m+2),
c=m+2.
Já temos a=1>0, então a condição que falta é De<a<0.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = [-2(m+2)]^2 - 4cdot1cdot(m+2) = 4(m+2)^2 - 4(m+2)
Impor De<a<0 dá a inequação
4l[(m+2)^2 - (m+2)r]<0

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 4>0, obtemos
(m+2)^2 - (m+2)<0
Faça a substituição t=m+2. Então a condição vira
t(t-1)<0,
que acontece exatamente para 0<t<1.

Passo 5

Voltando para m, isso significa
0 < m+2 < 1 Longrightarrow -2 < m < -1

Resposta

-2 < m < -1

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