Resolva, em R, as inequações:
(x^2-x-6) cdot(-x^2+2 x-1)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação
l(x^2-x-6r),l(-x^2+2x-1r)>0
Aqui o conteúdo é estudo de sinal de produto de polinômios; vamos fatorar cada um, achar suas raízes e montar o quadro de sinais para determinar onde o produto é positivo.

Passo 2

Primeiro fatoramos cada polinômio:
x^2-x-6 = (x-3)(x+2),
-x^2+2x-1 = -l(x^2-2x+1r) = -(x-1)^2
Logo a expressão fica
(x-3)(x+2),l[-(x-1)^2r]
As raízes são x=3, x=-2 (zeram o primeiro fator) e x=1 (torna zero o segundo fator).

Passo 3

Agora avaliamos o sinal de cada fator em cada intervalo delimitado por -2,1,3:
  • (x-1)^2 é sempre não negativo e só é zero em x=1. Portanto -(x-1)^2 é sempre não positivo, estritamente negativo para xneq1.
  • (x-3)(x+2) é uma parábola que se anula em -2 e em 3, positiva fora do intervalo [-2,3] e negativa dentro desse intervalo.
Para o produto ser >0, precisamos que os dois fatores tenham mesmo sinal. Como -(x-1)^2<=0 é negativo para todo xneq1, precisamos que
(x-3)(x+2)<0
e ainda xneq1.

Passo 4

A condição (x-3)(x+2)<0 significa que x está entre as raízes -2 e 3:
-2 < x < 3
Dentro desse intervalo, exceto em x=1 (onde o segundo fator zera e o produto fica zero), temos (x-3)(x+2)<0 e -(x-1)^2<0, de modo que o produto é positivo.

Resposta

(-2,1),cup,(1,3)

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