Um cone equilátero tem raio da base r. Calcule:
a) a área lateral;
b) a medida em radianos do ângulo do setor circular equivalente à superfície lateral;
c) a área total;
d) o volume.

Passo 1

O enunciado pede as áreas e o volume de um cone equilátero de raio da base r.
Um cone equilátero é aquele cujo triângulo que passa pelo vértice e pelo diâmetro da base é equilátero. Nele temos:
  • geratriz s igual ao lado do triângulo equilátero, isto é, s=2r;
  • altura h dada pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de catetos r e h e hipotenusa s.
    Vamos usar as fórmulas:
área lateral AL=pi r s, área da base AB=pi r^2, área total AT=AL+AB, volume V=tfrac13pi r^2 h ááá

Passo 2

Calcular s e h.
s=2r, h=raizs^2-r^2=raiz(2r)^2-r^2=raiz4r^2-r^2=rraiz3

Passo 3

Área lateral:
AL=pi r s=pi rcdot2r=2pi r^2

Passo 4

Ângulo do setor circular ao desenrolar a superfície lateral:
o comprimento do arco do setor é a circunferência da base, 2pi r, e o raio do setor é s=2r.
theta=arcoraio=2pi r2r=pi rad

Passo 5

Área total:
AT=AL+AB=2pi r^2+pi r^2=3pi r^2

Passo 6

Volume:
V=13pi r^2 h=13pi r^2,(rraiz3) =piraiz33,r^3

Resposta

(a) 2pi r^2
(b) pi rad
(c) 3pi r^2
(d) piraiz33,r^3

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