Um conjunto é bem ordenado se todo subconjunto não vazio desse conjunto tiver um menor elemento. Determine se cada um dos conjuntos a seguir é bem ordenado:
o conjunto dos números racionais positivos com denominador menor que 100.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos o conjunto
X=\{\,p/q\in\mathbb{Q}\mid p\in\mathbb{Z}^+,\;q\in\mathbb{Z}^+,\;q<100\},
ordenado pela ordem usual em \mathbb{R}. Queremos ver se X é bem ordenado, ou seja, se todo subconjunto não vazio S\subseteq X possui um menor elemento.

Passo 2

Escolha do denominador “mais desfavorável”
Seja S\subseteq X um subconjunto não vazio. Considere o conjunto dos denominadores que aparecem em S:
Q=\{\,q\in\mathbb{Z}^+\mid \exists\,p\text{ com }p/q\in S\}.
Como cada q\in Q satisfaz 1\le q<100, o conjunto Q é finito e não vazio. Logo tem máximo, que chamaremos de
q_{\max}=\max Q.

Passo 3

Menor numerador no denominador máximo
Todos os elementos de S têm forma p/q com q\le q_{\max}. Em particular, aqueles com q=q_{\max} são
\{\,p_i/q_{\max}\in S\mid i\in I\}.
Esse índice I não vazio tem um menor numerador, digamos p_0=\min\{p_i\mid p_i/q_{\max}\in S\}. Então p_0/q_{\max} é o menor entre os quocientes com denominador q_{\max}.

Passo 4

Comparação com elementos de denominador menor
Se p'/q'\in S tem q'<q_{\max}, então
p'/q'\ge 1/q' \quad\text{e}\quad p_0/q_{\max}\le 1/q_{\max}.
Como q'<q_{\max} implica 1/q_{\max}<1/q', segue
p_0/q_{\max}<p'/q',
ou seja, nenhum elemento de denominador menor bate p_0/q_{\max}. Portanto p_0/q_{\max} é o menor de todo S.

Resposta

O conjunto dos racionais positivos com denominador menor que 100 é bem ordenado.

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