Um conjunto é bem ordenado se todo subconjunto não vazio desse conjunto tiver um menor elemento. Determine se cada um dos conjuntos a seguir é bem ordenado:
o conjunto dos números racionais positivos com denominador menor que 100.
o conjunto dos números racionais positivos com denominador menor que 100.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Temos o conjunto
Temos o conjunto
ordenado pela ordem usual em
. Queremos ver se
é bem ordenado, ou seja, se todo subconjunto não vazio
possui um menor elemento.
Passo 2
Escolha do denominador “mais desfavorável”
Seja um subconjunto não vazio. Considere o conjunto dos denominadores que aparecem em
:
Seja
Como cada
satisfaz
, o conjunto
é finito e não vazio. Logo tem máximo, que chamaremos de
Passo 3
Menor numerador no denominador máximo
Todos os elementos de têm forma
com
. Em particular, aqueles com
são
Todos os elementos de
Esse índice
não vazio tem um menor numerador, digamos
. Então
é o menor entre os quocientes com denominador
.
Passo 4
Comparação com elementos de denominador menor
Se tem
, então
Se
Como
implica
, segue
ou seja, nenhum elemento de denominador menor bate
. Portanto
é o menor de todo
.
Resposta
O conjunto dos racionais positivos com denominador menor que 100 é bem ordenado.