Mostre que se
for um número inteiro positivo, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para todo inteiro positivo
,
O conteúdo principal aqui é manipulação de somas duplas e a fórmula bem conhecida de que a soma dos primeiros
números ímpares é
:
Passo 2
Vamos trocar a ordem de somatório. Observe que a soma em
de
a
e, em seguida, em
de
a
é equivalente a, primeiro, somar em
de
a
e, depois, em
de
a
. Ou seja,
Passo 3
Agora aplicamos a soma dos ímpares no somatório interno:
Substituindo isso na expressão do passo anterior, obtemos
Passo 4
A soma dos primeiros
inteiros é bem conhecida:
Portanto concluímos que