Mostre que se n for um número inteiro positivo, então
\sum_{j=1}^{n}(2 j-1)\left(\sum_{k=j}^{n} 1 / k\right)=n(n+1) / 2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo inteiro positivo n,
\sum_{j=1}^{n}(2j-1)\Bigl(\sum_{k=j}^{n}\frac{1}{k}\Bigr) =\frac{n(n+1)}{2}.
O conteúdo principal aqui é manipulação de somas duplas e a fórmula bem conhecida de que a soma dos primeiros k números ímpares é k^{2}:
1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^{2}.

Passo 2

Vamos trocar a ordem de somatório. Observe que a soma em j de 1 a n e, em seguida, em k de j a n é equivalente a, primeiro, somar em k de 1 a n e, depois, em j de 1 a k. Ou seja,
\sum_{j=1}^{n}(2j-1)\sum_{k=j}^{n}\frac{1}{k} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}(2j-1).

Passo 3

Agora aplicamos a soma dos ímpares no somatório interno:
\sum_{j=1}^{k}(2j-1)=k^{2}.
Substituindo isso na expressão do passo anterior, obtemos
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\,k^{2} =\sum_{k=1}^{n}k.

Passo 4

A soma dos primeiros n inteiros é bem conhecida:
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.
Portanto concluímos que
\sum_{j=1}^{n}(2j-1)\Bigl(\sum_{k=j}^{n}\frac{1}{k}\Bigr) =\frac{n(n+1)}{2}.

Resposta

\frac{n(n+1)}{2}.

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