*46. Mostre que
planos dividem um espaço tridimensional em
regiões se cada três desses planos tiverem um ponto em comum e não houver quatro planos com um ponto em comum.
Passo 1
O enunciado pede para contar o número máximo de regiões em que
planos em posição geral (ou seja, cada três têm um ponto comum e não há quatro concorrendo num mesmo ponto) dividem o espaço tridimensional. Vamos usar um argumento recursivo: adicionar um plano de cada vez e ver quantas regiões novas ele cria.
Passo 2
Suponha que já tenhamos contado que
planos geram
regiões. Ao introduzir o
-ésimo plano, ele intersecta cada um dos
planos anteriores numa reta, e por hipótese essas
retas estão em posição geral dentro desse plano (não há duas paralelas nem três concorrentes). Numa disposição de
retas em posição geral, o número de regiões do plano é
Aqui
, logo o novo plano é dividido em
regiões.
Passo 3
Cada uma dessas regiões do novo plano corresponde a uma região nova no espaço, de modo que a recorrência para o número total de regiões é
com condição inicial
(sem plano, há exatamente uma região, todo o espaço).
Passo 4
Para resolver essa recorrência, escrevemos
Calculamos separadamente:
portanto
Passo 5
Substituindo na soma,