*46. Mostre que n planos dividem um espaço tridimensional em \left(n^{3}+5 n+6\right) / 6 regiões se cada três desses planos tiverem um ponto em comum e não houver quatro planos com um ponto em comum.

Passo 1

O enunciado pede para contar o número máximo de regiões em que n planos em posição geral (ou seja, cada três têm um ponto comum e não há quatro concorrendo num mesmo ponto) dividem o espaço tridimensional. Vamos usar um argumento recursivo: adicionar um plano de cada vez e ver quantas regiões novas ele cria.

Passo 2

Suponha que já tenhamos contado que n-1 planos geram a_{n-1} regiões. Ao introduzir o n-ésimo plano, ele intersecta cada um dos n-1 planos anteriores numa reta, e por hipótese essas n-1 retas estão em posição geral dentro desse plano (não há duas paralelas nem três concorrentes). Numa disposição de L retas em posição geral, o número de regiões do plano é
\frac{L(L+1)}{2}+1.
Aqui L=n-1, logo o novo plano é dividido em
\frac{(n-1)n}{2}+1
regiões.

Passo 3

Cada uma dessas regiões do novo plano corresponde a uma região nova no espaço, de modo que a recorrência para o número total de regiões é
a_n = a_{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} + 1,
com condição inicial a_0=1 (sem plano, há exatamente uma região, todo o espaço).

Passo 4

Para resolver essa recorrência, escrevemos
a_n = 1 + \sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{k(k-1)}{2}+1\Bigr) =1+\sum_{k=1}^n\frac{k(k-1)}{2}+\sum_{k=1}^n1.
Calculamos separadamente:
\sum_{k=1}^n1 = n,
\sum_{k=1}^n k(k-1) =\sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2} =\frac{n(n+1)(n-1)}{3},
portanto
\sum_{k=1}^n\frac{k(k-1)}{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n+1)(n-1)}{3} =\frac{n(n+1)(n-1)}{6}.

Passo 5

Substituindo na soma,
a_n = 1 + \frac{n(n+1)(n-1)}{6} + n = \frac{n(n+1)(n-1) + 6(n+1)}{6} = \frac{(n+1)\bigl(n^2 -n +6\bigr)}{6} = \frac{n^3 + 5n + 6}{6}.

Resposta

\frac{n^3 + 5n + 6}{6}.

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