Considerando a função real f(x)=3+2^x-1 e sendo g: A R a sua inversa, pode-se afirmar:
a) A imagem de f é A.
b) O gráfico de f está acima da reta y=4.
c) g(112)=log 2 5.
d) Se f(h(x))=3+2 x, então h(14)=0.
e) O conjunto solução da inequação f(2 x+1)<1+3 cdot 2^x é o intervalo ] 0,1[.
f) O gráfico da função g intercepta o eixo 0 x no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3+2^,x-1
de domínio R e define gcolon AtoR como sua inversa. Precisamos verificar cada item usando teoria de imagem, inversa, solução de inequação exponencial e interseção de gráfico com eixos.

Passo 2

Determinar a imagem de f. Como 2^,x-1 varia em (0,infty), temos
f(x)=3+2^,x-1in(3,infty)
Logo o conjunto imagem de f é A=(3,infty), e portanto a) é verdadeira.

Passo 3

Verificar se o gráfico de f está acima da reta y=4. Note que
f(1)=3+2^1-1=4,
e para x<1 f(x)<4. Portanto b) é falsa.

Passo 4

Encontrar a inversa g. Da equação
y=3+2^,x-1
vem 2^,x-1=y-3, logo
x-1=log2(y-3), g(y)=1+log2(y-3)
Assim
gl(tfrac112r) =1+log2l(tfrac112-3r) =1+log2l(tfrac52r) =1+log25-log22 =log25,
de modo que c) é verdadeira.

Passo 5

Resolver fl(h(x)r)=3+2x. Temos
3+2^,h(x)-1=3+2x ;Longrightarrow; 2^,h(x)-1=2x ;Longrightarrow; h(x)-1=log2(2x)=1+log2x ;Longrightarrow; h(x)=2+log2x
Assim
hl(tfrac14r)=2+log2l(tfrac14r)=2+(-2)=0,
portanto d) é verdadeira.

Passo 6

Resolver a inequação
f(2x+1)<1+3cdot2^,x
Calculamos
f(2x+1)=3+2^(2x+1)-1=3+2^2x=3+4^x,
de modo que
3+4^x<1+3cdot2^x ;Longrightarrow; 4^x-3cdot2^x+2<0
Com t=2^x>0 fica t^2-3t+2<0, ou seja (t-1)(t-2)<0Rightarrow tin(1,2). Logo
2^xin(1,2);Longrightarrow;xin(0,1),
e e) é verdadeira.

Passo 7

Verificar onde o gráfico de g intercepta o eixo Ox (isto é, onde g(x)=0). Da expressão
g(x)=1+log2(x-3)=0
vem log2(x-3)=-1,
x-3=2^-1=tfrac12 ;Longrightarrow; x=tfrac72,
não em x=1. Assim f) é falsa.

Resposta

As afirmativas verdadeiras são (a), (c), (d) e (e). As afirmativas (b) e (f) são falsas.

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