Considere a função
tal que
.
Esboce o gráfico correspondente e decida quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas.
a)
é crescente.
b)
é sobrejetora.
c)
possui inversa
.
d)
possui inversa
.
e)
não possui inversa.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado define a função
O conteúdo aqui é análise de função afim: vamos estudar monotonicidade (sinal da inclinação), imagem (valores em extremos) e invertibilidade (injeção e sobrejeção) e então calcular
.
Passo 2
Para ver se
é crescente ou decrescente, calculamos a inclinação (coeficiente angular) da reta:
Como
, a função é estritamente decrescente em todo o domínio. Portanto, a afirmação “
é crescente” é falsa.
Passo 3
Agora avaliamos
nos extremos do domínio para determinar sua imagem efetiva:
Por ser contínua e variar de
até
, ela atinge todo valor em
. Então
é sobrejetora e a afirmação (b) é verdadeira.
Passo 4
Como
é estritamente monótona (decrescente), ela é injetora. Juntando injetividade e a sobrejeção em
, concluímos que
possui inversa. Logo a afirmação (e) “
não possui inversa” é falsa.
Passo 5
Para encontrar
, resolvemos
Portanto, a afirmação (c) é verdadeira e (d) é falsa.
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa
e) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa
e) Falsa