Considere a função f:[pi2, 3 pi2] [-1,1] tal que f(x)=2-2pi x.
Esboce o gráfico correspondente e decida quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas.
a) f é crescente.
b) f é sobrejetora.
c) f possui inversa e f^-1(0)=pi.
d) f possui inversa e f^-1(0)=0.
e) f não possui inversa.

Passo 1

O enunciado define a função
f:l[tfracpi2,tfrac3pi2r]to[-1,1]
f(x)=2-tfrac2pix
O conteúdo aqui é análise de função afim: vamos estudar monotonicidade (sinal da inclinação), imagem (valores em extremos) e invertibilidade (injeção e sobrejeção) e então calcular f^-1(0).

Passo 2

Para ver se f é crescente ou decrescente, calculamos a inclinação (coeficiente angular) da reta:
m = -2pi
Como m<0, a função é estritamente decrescente em todo o domínio. Portanto, a afirmação “ f é crescente” é falsa.

Passo 3

Agora avaliamos f nos extremos do domínio para determinar sua imagem efetiva:
fl(tfracpi2r)=2 - tfrac2picdot tfracpi2=2-1=1,
fl(tfrac3pi2r)=2 - tfrac2picdot tfrac3pi2=2-3=-1
Por ser contínua e variar de 1 até -1, ela atinge todo valor em [-1,1]. Então f é sobrejetora e a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 4

Como f é estritamente monótona (decrescente), ela é injetora. Juntando injetividade e a sobrejeção em [-1,1], concluímos que f possui inversa. Logo a afirmação (e) “ f não possui inversa” é falsa.

Passo 5

Para encontrar f^-1(0), resolvemos
0 = 2 - tfrac2pi,x Longrightarrow tfrac2pi,x = 2 Longrightarrow x = pi
Portanto, a afirmação (c) é verdadeira e (d) é falsa.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa
e) Falsa

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