Sejam os conjuntos A=x in R lvert, x <= 12 e B=x in R mid x >=-1 e as funções: f de A em R-, definida por f(x)=2 x-1, g de R-em R+, definida por g(x)=x^2, e h de R+em B, definida por h(x)=4 x-1. Determine a função inversa de h circ(g circ f).

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos os conjuntos
A=xinRmid x<= tfrac12 e B=xinRmid x>= -1 e as funções
fcolon AtoR- dada por f(x)=2x-1,
gcolonR-toR+ dada por g(x)=x^2 e
hcolonR+to B dada por h(x)=4x-1.
O objetivo é achar a inversa de
H=hcirc(gcirc f), ou seja (hcirc gcirc f)^-1. Para isso vamos primeiro obter a expressão de H(x) e depois resolver para x em função de y=H(x).

Passo 2

Vamos calcular passo a passo a composição:
f(x)=2x-1 mapeia A em R-=[-infty,0].
g(f(x))=(2x-1)^2 mapeia em R+=[0,infty).
Por fim
H(x)=hl(g(f(x))r)=4,(2x-1)^2-1,
cujo domínio é A e contradomínio B.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos
y = H(x) = 4,(2x-1)^2 - 1
e isolamos (2x-1)^2:
y + 1 = 4,(2x-1)^2 Longrightarrow (2x-1)^2 = y+14
Extraindo raiz, obtemos
2x-1 = pm raizy+14 = pm 12raizy+1
e portanto
2x = 1 pm 12raizy+1, x = 12 pm 14raizy+1

Passo 4

Precisamos escolher o sinal que leva x de volta ao domínio A, em que x<=tfrac12.
  • Se tomássemos o sinal +, então
    x=tfrac12+tfrac14raizy+1>=tfrac12, o que violaria x<=tfrac12 para y>-1.
  • Logo o ramo válido é o sinal -, que garante
    x=tfrac12-tfrac14raizy+1<=tfrac12.
    Além disso, a imagem de H é B, ou seja y>=-1.

Resposta

A inversa de hcirc(gcirc f) é
(hcirc gcirc f)^-1(y) = 12 ;-; 14,raizy+1, y>= -1

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