Sejam os conjuntos e B=x in R mid x >=-1 e as funções: f de A em R-, definida por f(x)=2 x-1, g de R-em R+, definida por g(x)=x^2, e h de R+em B, definida por h(x)=4 x-1. Determine a função inversa de h circ(g circ f).
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos os conjuntos A=xinRmid x<= tfrac12 e B=xinRmid x>= -1 e as funções fcolon AtoR- dada por f(x)=2x-1, gcolonR-toR+ dada por g(x)=x^2 e hcolonR+to B dada por h(x)=4x-1.
O objetivo é achar a inversa de H=hcirc(gcirc f), ou seja (hcirc gcirc f)^-1. Para isso vamos primeiro obter a expressão de H(x) e depois resolver para x em função de y=H(x).
Passo 2
Vamos calcular passo a passo a composição: f(x)=2x-1 mapeia A em R-=[-infty,0]. g(f(x))=(2x-1)^2 mapeia em R+=[0,infty).
Por fim
H(x)=hl(g(f(x))r)=4,(2x-1)^2-1,
cujo domínio é A e contradomínio B.
Passo 3
Para achar a inversa, escrevemos
y = H(x) = 4,(2x-1)^2 - 1
e isolamos (2x-1)^2:
y + 1 = 4,(2x-1)^2 Longrightarrow (2x-1)^2 = y+14
Extraindo raiz, obtemos
2x-1 = pm raizy+14 = pm 12raizy+1
e portanto
2x = 1 pm 12raizy+1, x = 12 pm 14raizy+1
Passo 4
Precisamos escolher o sinal que leva x de volta ao domínio A, em que x<=tfrac12.
Se tomássemos o sinal +, então x=tfrac12+tfrac14raizy+1>=tfrac12, o que violaria x<=tfrac12 para y>-1.
Logo o ramo válido é o sinal -, que garante x=tfrac12-tfrac14raizy+1<=tfrac12.
Além disso, a imagem de H é B, ou seja y>=-1.
Resposta
A inversa de hcirc(gcirc f) é
(hcirc gcirc f)^-1(y) = 12 ;-; 14,raizy+1, y>= -1
Cálculo - Gelson Iezzi, Carlos Murakami - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 1: Conjuntos e Funções - 9ª Edição - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 512