Considere
f(t)= sen t, & 0 <= t<pi cos t, & pi <= t<2 pi e^-t10, & t >= 2 pi
(a) Expresse f em termos da função degrau.
(b) Calcule a transformada de Laplace de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)= sin t, & 0 <= t<pi, cos t, & pi <= t<2pi, e^-t/10, & t>=2pi,
e pede (a) escrevê-la usando a função degrau unitário u(t-a) e (b) encontrar sua transformada de Laplace. Para isso vamos lembrar que
  1. u(t-a)=0 se t<a e =1 se t>= a.
  2. A segunda propriedade de deslocamento diz que
Lg(t),u(t-a) =integrala^inftye^-stg(t),dt =e^-asintegral0^inftye^-staug(tau+a),dtau

Passo 2

Usando degraus podemos escrever diretamente
f(t) =sin t,[1 - u(t-pi)] +cos t,[,u(t-pi)-u(t-2pi),] +e^-t/10,u(t-2pi)

Passo 3

Para aplicar Laplace é conveniente rearranjar em três termos que começam em zero:
f(t) =sin t +l(cos t-sin tr),u(t-pi) +l(e^-t/10-cos tr),u(t-2pi)

Passo 4

Calculemos agora cada parte:
  1. Lsin t=1s^2+1
  2. Para (cos t-sin t),u(t-pi) usamos deslocamento:
L(cos t-sin t),u(t-pi) =integralpi^inftye^-st(cos t-sin t),dt =e^-pi sintegral0^inftye^-staul(cos(tau+pi)-sin(tau+pi)r)dtau
Como cos(tau+pi)=-costau e sin(tau+pi)=-sintau, o integrando vira -costau+sintau. Logo
integral0^infty e^-stau(-costau+sintau),dtau =-ss^2+1+1s^2+1 =1-ss^2+1
Portanto
L(cos t-sin t),u(t-pi) =e^-pi s,1-ss^2+1

Passo 5

Para (e^-t/10-cos t),u(t-2pi) temos
Le^-t/10,u(t-2pi) =integral2pi^infty e^-ste^-t/10,dt =e^-2pi sintegral0^infty e^-(s+1/10)taue^-2pi/10dtau =e^-2pi s,e^-2pi/10s+tfrac110,
e
Lcos t,u(t-2pi) =integral2pi^infty e^-stcos t,dt =e^-2pi sss^2+1
Subtraindo dá
L(e^-t/10-cos t),u(t-2pi) =e^-2pi sl(e^-2pi/10s+tfrac110-ss^2+1r)

Resposta

(a)
f(t) =sin t,[1 - u(t-pi)] +cos t,[,u(t-pi)-u(t-2pi),] +e^-t/10,u(t-2pi)
(b)
Lf(t) =1s^2+1 +e^-pi s,1-ss^2+1 +e^-2pi sl(e^-2pi/10s+tfrac110-ss^2+1r)

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