Considere o campo vetorial
, definido em
. Calcule
em que
é o arco da circunferência
e
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de linha
onde
com
e
é o arco da circunferência
no primeiro quadrante, parametrizado por
,
.
O conteúdo é integral de linha em campos vetoriais e o que precisaremos é verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma potencial.
O conteúdo é integral de linha em campos vetoriais e o que precisaremos é verificar se
Passo 2
Verificamos se
é conservativo em
calculando
e
.
Um cálculo direto mostra que
Um cálculo direto mostra que
e
Como
em
(que é simplesmente conexo),
é conservativo.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
. Integramos
em
:
Note que
então resta integrar
em
:
Logo
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
, obtemos
Comparando com
, vemos que
.
Portanto podemos tomar constante, que ignoramos no cálculo do integral.
Portanto podemos tomar
Passo 5
Como
é conservativo,
Temos
e
.
Calculamos
Calculamos
Logo