Considere o campo vetorial \vec{F}=\left(\left(2 x+y^{3}\right) \cos (x y)-x^{2} y \operatorname{sen} x y\right) \vec{i}+\left(\left(2 y-x^{3}\right) \operatorname{sen} x y+x y^{2}\right. \cos x y) \vec{j}, definido em \Omega=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} ; x^{2}+y^{2}<4\right\}. Calcule
\int \vec{F} \cdot d \gamma,
em que \gamma é o arco da circunferência x^{2}+y^{2}=1 e x, y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\gamma
onde
\vec F=(P,Q) com
P(x,y)=(2x+y^{3})\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy),
Q(x,y)=(2y-x^{3})\sin(xy)+x y^{2}\cos(xy),
e \gamma é o arco da circunferência x^{2}+y^{2}=1 no primeiro quadrante, parametrizado por
\gamma(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,\pi/2].
O conteúdo é integral de linha em campos vetoriais e o que precisaremos é verificar se \vec F é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma potencial.

Passo 2

Verificamos se \vec F é conservativo em \Omega calculando
\partial P/\partial y e \partial Q/\partial x.
Um cálculo direto mostra que
\frac{\partial P}{\partial y} =3y^{2}\cos(xy)-x^{3}y\cos(xy)-\bigl(3x^{2}+x\,y^{3}\bigr)\sin(xy)
e
\frac{\partial Q}{\partial x} =3y^{2}\cos(xy)-x^{3}y\cos(xy)-\bigl(3x^{2}+x\,y^{3}\bigr)\sin(xy).
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em \Omega (que é simplesmente conexo), \vec F é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\partial\varphi/\partial x=P. Integramos P em x:
\varphi(x,y) =\int\Bigl[(2x+y^{3})\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy)\Bigr]dx.
Note que
\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\cos(xy)\bigr] =2x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy),
então resta integrar y^{3}\cos(xy) em x:
\int y^{3}\cos(xy)\,dx =y^{3}\,\frac{\sin(xy)}{y} =y^{2}\sin(xy).
Logo
\varphi(x,y)=x^{2}\cos(xy)+y^{2}\sin(xy)+g(y),
onde g(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial\varphi/\partial y=Q, obtemos
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =-x^{3}\sin(xy)+2y\sin(xy)+x y^{2}\cos(xy)+g'(y) \stackrel!=Q(x,y).
Comparando com
Q=(2y - x^{3})\sin(xy)+x y^{2}\cos(xy), vemos que g'(y)=0.
Portanto podemos tomar g(y)= constante, que ignoramos no cálculo do integral.

Passo 5

Como \vec F é conservativo,
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\gamma =\varphi\bigl(\gamma(\pi/2)\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(0)\bigr).
Temos \gamma(0)=(1,0) e \gamma(\pi/2)=(0,1).
Calculamos
\varphi(1,0)=1^{2}\cos(1\cdot0)+0^{2}\sin(1\cdot0)=\cos0=1,
\varphi(0,1)=0^{2}\cos0+1^{2}\sin0=0.
Logo
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\gamma =0-1=-1.

Resposta

-1

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