Seja
uma função contínua. Calcule:
em que
é uma curva de classe
tal que
e
, em que
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha da forma diferencial
sobre uma curva
de
a
, onde
e
é contínua em
. O conteúdo é “formas diferenciais exatas” e vamos usar o critério de exatidão e o teorema fundamental das integrais de linha conservativas.
Passo 2
Verificamos se a forma é exata, isto é, se
Calculando,
Como coincidem para todo
, a forma é exata em
.
Passo 3
Por exatidão existe potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função de
. Para ajustar
, usamos
logo
. Seja
qualquer primitiva de
. Assim
Passo 4
Pelo teorema fundamental de campos conservativos,
Os pontos são
e
. Então
onde
é a primitiva de
. Subtraindo,