Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua. Calcule:
\int_{\gamma} x y d x+\left(\frac{x^{2}}{2}+f(y)\right) d y
em que \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma curva de classe C^{1} tal que \gamma(0)=(0, a) e \gamma(1)= (1, a), em que a \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da forma diferencial
P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy
sobre uma curva \gamma de (0,a) a (1,a), onde
P(x,y)=x\,y, \quad Q(x,y)=\frac{x^2}{2}+f(y),
e f é contínua em \mathbb{R}. O conteúdo é “formas diferenciais exatas” e vamos usar o critério de exatidão e o teorema fundamental das integrais de linha conservativas.

Passo 2

Verificamos se a forma é exata, isto é, se
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculando,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (x\,y)}{\partial y} =x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial \bigl(\tfrac{x^2}{2}+f(y)\bigr)}{\partial x} =x.
Como coincidem para todo (x,y), a forma é exata em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Por exatidão existe potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} =P(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} =Q(x,y).
Integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) =\int x\,y\,dx =\frac{x^2\,y}{2} +G(y),
onde G é função de y. Para ajustar G, usamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{x^2}{2}+G'(y) \stackrel{!}{=} \frac{x^2}{2}+f(y),
logo G'(y)=f(y). Seja
G(y)=\int f(y)\,dy,
qualquer primitiva de f. Assim
\varphi(x,y) =\frac{x^2\,y}{2} +\int f(y)\,dy.

Passo 4

Pelo teorema fundamental de campos conservativos,
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\varphi\bigl(\gamma(1)\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(0)\bigr).
Os pontos são \gamma(0)=(0,a) e \gamma(1)=(1,a). Então
\varphi(1,a) =\frac{1^2\cdot a}{2} +\int f(a)\,dy =\frac{a}{2} +F(a),
\varphi(0,a) =\frac{0^2\cdot a}{2} +F(a) =F(a),
onde F é a primitiva de f. Subtraindo,
\varphi(1,a)-\varphi(0,a) =\frac{a}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{2}

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