(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2, h3, h4) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^4 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.
e pede: (a) verificar se A é simétrica; (b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2,h3,h4)= h^T A h; (c) classificar Q completando quadrados (método de Lagrange); (d) todos os menores principais de A; (e) menores principais líderes (leading principal minors); (f) classificar Q via critério dos menores principais; (g) encontrar vetores p, q com Q( p)>0 e Q( q)<0. O conteúdo envolve simetria de matrizes, formas quadráticas, critério de Sylvester e cálculo de determinantes de submatrizes.
Passo 2
(a) Uma matriz A é simétrica se A^T=A. Aqui verificamos que a13=3=a31, a24=5=a42 e os demais aij=aji. Logo,
A^T=A,
portanto A é simétrica.
Passo 3
(b) A forma quadrática associada é
Expandindo,
ou seja
Passo 4
(c) Para classificar por Lagrange, completamos quadrados nos pares (h1,h3) e (h2,h4).
No primeiro bloco:
tendo dois quadrados com coeficiente positivo e dois com coeficiente negativo. Isso mostra que Q é indefinida.
Passo 5
(d) Calculamos todos os menores principais (qualquer seleção de índices com mesma ordem em linhas e colunas). Menores de ordem 1: ;D1=1,;D2=2,;D3=4,;D4=6 Menores de ordem 2: submatrizes i,j:
(e) Os menores principais líderes (leading principal minors) são os determinantes das submatrizes formadas pelas primeiras k linhas e colunas: De<a1=1,;De<a2=2,;De<a3=-10,;De<a4=65
Passo 7
(f) Pelo critério de Sylvester, para positiva definida precisaríamos de De<ak>0 para todo k, mas De<a3=-10<0. Para negativa definida precisaríamos que (-1)^kDe<ak>0 para todo k, mas (-1)^1De<a1=-1<0. Logo Q é novamente indefinida.
Passo 8
(g) Exemplo de vetores:
Para Q( p)>0, escolha p=(1,0,0,0). Então
Q(1,0,0,0)=1>0
Para Q( q)<0, anulemos os quadrados positivos fazendo h1=-3h3 e h2=h4=0. Tomando h3=1, q=(-3,0,1,0), obtemos
Q(-3,0,1,0)=-5<0
Resposta
(a) Sim, A^T=A.
(b) Q(h1,h2,h3,h4) =h1^2+2h2^2+4h3^2+6h4^2 +6,h1h3+10,h2h4
(c) Q é indefinida (dois quadrados positivos e dois negativos).
(d) Menores principais:
ordem 1: 1,2,4,6;
ordem 2: 2,-5,6,8,-13,24;
ordem 3: -10,-13,-30,-52;
ordem 4: 65.
(e) Minors líderes: De<a1=1,;De<a2=2,;De<a3=-10,;De<a4=65.
(f) Pelos sinais de De<ak, Q é indefinida.
(g) Exemplo: p=(1,0,0,0) dá Q( p)=1>0; q=(-3,0,1,0) dá Q( q)=-5<0.
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 11.11.7 - Ex. 23