[23] Considere a matriz
A=[llll 1 & 0 & 3 & 0 0 & 2 & 0 & 5 3 & 0 & 4 & 0 0 & 5 & 0 & 6 ]
(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2, h3, h4) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^4 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz
A= 1 & 0 & 3 & 0 0 & 2 & 0 & 5 3 & 0 & 4 & 0 0 & 5 & 0 & 6
e pede: (a) verificar se A é simétrica; (b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2,h3,h4)= h^T A h; (c) classificar Q completando quadrados (método de Lagrange); (d) todos os menores principais de A; (e) menores principais líderes (leading principal minors); (f) classificar Q via critério dos menores principais; (g) encontrar vetores p, q com Q( p)>0 e Q( q)<0. O conteúdo envolve simetria de matrizes, formas quadráticas, critério de Sylvester e cálculo de determinantes de submatrizes.

Passo 2

(a) Uma matriz A é simétrica se A^T=A. Aqui verificamos que a13=3=a31, a24=5=a42 e os demais aij=aji. Logo,
A^T=A,
portanto A é simétrica.

Passo 3

(b) A forma quadrática associada é
Expandindo,
ou seja

Passo 4

(c) Para classificar por Lagrange, completamos quadrados nos pares (h1,h3) e (h2,h4).
No primeiro bloco:
h1^2+6h1h3+4h3^2 =(h1+3h3)^2-5,h3^2
No segundo bloco:
2h2^2+10h2h4+6h4^2 =(raiz2,h2+tfrac5raiz2h4)^2-tfrac132,h4^2
Logo
Q=(h1+3h3)^2-(5,h3^2)+(raiz2,h2+tfrac5raiz2h4)^2 -(tfrac132h4^2),
tendo dois quadrados com coeficiente positivo e dois com coeficiente negativo. Isso mostra que Q é indefinida.

Passo 5

(d) Calculamos todos os menores principais (qualquer seleção de índices com mesma ordem em linhas e colunas).
Menores de ordem 1:
;D1=1,;D2=2,;D3=4,;D4=6
Menores de ordem 2: submatrizes i,j:
det1&00&2=2, det1&33&4=-5, det1&00&6=6,
det2&00&4=8, det2&55&6=-13, det4&00&6=24
Menores de ordem 3: submatrizes i,j,k:
1,2,3mapsto -10, 1,2,4mapsto -13, 1,3,4mapsto -30, 2,3,4mapsto -52
Menor de ordem 4:
det A=65

Passo 6

(e) Os menores principais líderes (leading principal minors) são os determinantes das submatrizes formadas pelas primeiras k linhas e colunas:
De<a1=1,;De<a2=2,;De<a3=-10,;De<a4=65

Passo 7

(f) Pelo critério de Sylvester, para positiva definida precisaríamos de De<ak>0 para todo k, mas De<a3=-10<0. Para negativa definida precisaríamos que (-1)^kDe<ak>0 para todo k, mas (-1)^1De<a1=-1<0. Logo Q é novamente indefinida.

Passo 8

(g) Exemplo de vetores:
Para Q( p)>0, escolha p=(1,0,0,0). Então
Q(1,0,0,0)=1>0
Para Q( q)<0, anulemos os quadrados positivos fazendo h1=-3h3 e h2=h4=0. Tomando h3=1, q=(-3,0,1,0), obtemos
Q(-3,0,1,0)=-5<0

Resposta

(a) Sim, A^T=A.
(b) Q(h1,h2,h3,h4) =h1^2+2h2^2+4h3^2+6h4^2 +6,h1h3+10,h2h4
(c) Q é indefinida (dois quadrados positivos e dois negativos).
(d) Menores principais:
ordem 1: 1,2,4,6;
ordem 2: 2,-5,6,8,-13,24;
ordem 3: -10,-13,-30,-52;
ordem 4: 65.
(e) Minors líderes: De<a1=1,;De<a2=2,;De<a3=-10,;De<a4=65.
(f) Pelos sinais de De<ak, Q é indefinida.
(g) Exemplo:
p=(1,0,0,0) Q( p)=1>0;
q=(-3,0,1,0) Q( q)=-5<0.

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