(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a formá quadrática Q=Q(h1, h2, h3) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^3 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & 0 2 & 4 & 5 0 & 5 & 6
e pede: (a) verificar simetria; (b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2,h3); (c) classificar Q por Lagrange (completar quadrados); (d) calcular todos os menores principais; (e) calcular os menores principais líderes; (f) classificar Q pelo critério dos menores principais; (g) dar exemplos de p e q com Q( p)>0 e Q( q)<0.
Passo 2
Para (a), a matriz A é simétrica pois seus elementos satisfazem
Aij=Aji para todo i,j,
isto é, a transposta de A coincide com A.
Passo 3
Para (b), a forma quadrática associada a é
ou seja,
Passo 4
Para (c), completamos quadrados (método de Lagrange):
Agrupamos h1: h1^2+4h1h2 =(h1+2h2)^2-4h2^2
Assim Q=(h1+2h2)^2-4h2^2+10h2h3+6h3^2
Sobre o que resta, completamos quadrado em h2,h3: com cálculo obtém-se Q=(h1+2h2)^2-l(2h2-2,5,h3r)^2+(3,5,h3)^2 =u1^2-v2^2+u3^2, com u1=h1+2h2, v2=2h2-2,5h3, u3=3,5h3. Há sinais +,-,+, logo Q é indefinida.
Passo 5
Para (d) e (e), calculamos os menores principais de todas as ordens e os líderes (os da forma norte-oeste):
– Ordem 1: De<a1^1=A11=1, De<a2^1=A22=4, De<a3^1=A33=6.
– Ordem 2 (todos): De<a1,2=det1&22&4=0, De<a1,3=det1&00&6=6, De<a2,3=det4&55&6=-1
– Ordem 3: det A=-25
– Menores principais líderes (noroeste): De<a1=1, De<a2=det1&22&4=0, De<a3=det A=-25
Passo 6
Para (f), pelo critério de Sylvester: os menores principais líderes não são todos positivos (De<a2=0, De<a3<0), então Q é novamente indefinida.
Passo 7
Para (g), exemplos fáceis são p=(1,0,0) dá
Q(1,0,0)=1>0,
e q=(-8,4,1) dá, com conta direta em Q,
Q(-8,4,1)=-18<0
Resposta
(a) Sim, A=A^T.
(b) Q(h1,h2,h3)=h1^2+4h1h2+4h2^2+10h2h3+6h3^2
(c) Q é indefinida (sinais +,-,+ após completar quadrados).
(d) Menores principais de ordem 1: 1,4,6; de ordem 2: 0,6,-1; de ordem 3: -25.
(e) Menores principais líderes: 1,0,-25.
(f) Pelo critério dos menores principais, Q é indefinida.
(g) Por exemplo, p=(1,0,0) com Q( p)=1>0 e q=(-8,4,1) com Q( q)=-18<0.
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 11.11.7 - Ex. 20