[18] Considere a matriz
A=[rr -3 & 4 4 & -6 ]
(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^2 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = -3 & 4 4 & -6
e pede:
(a) verificar simetria;
(b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2);
(c) classificar por método de Lagrange (completar quadrados);
(d) todos os menores principais de A;
(e) todos os menores principais líderes de A;
(f) classificar por meio desses menores;
(g) indicar vetores p, q tais que Q( p)>0 e Q( q)<0.
O conteúdo necessário é: definição de matriz simétrica, forma quadrática associada, completar quadrados para classificação de formas quadráticas e critérios de Sylvester (menores principais).

Passo 2

Para (a), lembre que A é simétrica se e somente se A^T = A. Aqui
A^T = -3 & 4 4 & -6 = A,
logo A é simétrica.

Passo 3

Para (b), a forma quadrática é
Q(h1,h2) = h1 & h2 -3 & 4 4 & -6 h1 h2 = -3h1^2 + 8h1h2 -6h2^2

Passo 4

Para (c), usamos completar quadrados (método de Lagrange):
Q = -3l(h1^2 - tfrac83h1h2r) -6h2^2 = -3l(h1 - tfrac43h2r)^2 ;-;tfrac23h2^2
Ambos os coeficientes -3 e -tfrac23 são negativos, logo Q<0 para todo (h1,h2)neq(0,0). Assim, Q é negativa definida.

Passo 5

Para (d), os menores principais (de ordem 1 e 2) são:
D1 = -3, D2 = det(A) = (-3)(-6) - 4cdot4 = 18 - 16 = 2

Passo 6

Para (e), os menores principais líderes são exatamente os mesmos neste caso 2times 2, ou seja
De<a1 = D1 = -3, De<a2 = D2 = 2

Passo 7

Para (f), pelo critério de Sylvester:
  • se De<a1<0 e De<a2>0, a forma é negativa definida.
    Aqui De<a1=-3<0 e De<a2=2>0, confirmando que Q é negativa definida, em acordo com (c).

Passo 8

Para (g), como Q é negativa definida, não existe pneq(0,0) com Q( p)>0. Já para q podemos escolher, por exemplo,
q = (1,0), Q(1,0) = -3 < 0

Resposta

(a) Sim, A^T = A, logo A é simétrica.
(b) Q(h1,h2) = -3h1^2 + 8h1h2 -6h2^2
(c) Pela forma completada, Q = -3(h1 - tfrac43h2)^2 - tfrac23h2^2, logo é negativa definida.
(d) Menores principais: D1 = -3, D2 = 2.
(e) Menores principais líderes: De<a1 = -3, De<a2 = 2.
(f) Pelo critério de Sylvester ( De<a1<0, De<a2>0), Q é negativa definida.
(g) Não existe p com Q( p)>0. Por exemplo, q = (1,0) satisfaz Q( q) = -3 < 0.

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