(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^2 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
A = -3 & 4 4 & -6
e pede:
(a) verificar simetria;
(b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2);
(c) classificar por método de Lagrange (completar quadrados);
(d) todos os menores principais de A;
(e) todos os menores principais líderes de A;
(f) classificar por meio desses menores;
(g) indicar vetores p, q tais que Q( p)>0 e Q( q)<0.
O conteúdo necessário é: definição de matriz simétrica, forma quadrática associada, completar quadrados para classificação de formas quadráticas e critérios de Sylvester (menores principais).
Passo 2
Para (a), lembre que A é simétrica se e somente se A^T = A. Aqui
Para (e), os menores principais líderes são exatamente os mesmos neste caso 2times 2, ou seja
De<a1 = D1 = -3, De<a2 = D2 = 2
Passo 7
Para (f), pelo critério de Sylvester:
se De<a1<0 e De<a2>0, a forma é negativa definida.
Aqui De<a1=-3<0 e De<a2=2>0, confirmando que Q é negativa definida, em acordo com (c).
Passo 8
Para (g), como Q é negativa definida, não existe pneq(0,0) com Q( p)>0. Já para q podemos escolher, por exemplo,
q = (1,0), Q(1,0) = -3 < 0
Resposta
(a) Sim, A^T = A, logo A é simétrica.
(b) Q(h1,h2) = -3h1^2 + 8h1h2 -6h2^2
(c) Pela forma completada, Q = -3(h1 - tfrac43h2)^2 - tfrac23h2^2, logo é negativa definida.
(d) Menores principais: D1 = -3, D2 = 2.
(e) Menores principais líderes: De<a1 = -3, De<a2 = 2.
(f) Pelo critério de Sylvester (De<a1<0, De<a2>0), Q é negativa definida.
(g) Não existe p com Q( p)>0. Por exemplo, q = (1,0) satisfaz Q( q) = -3 < 0.
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 11.11.7 - Ex. 18