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Mostre que (1,1) não é ponto de extremo local da função f(x, y)= 2(x^2+y^2) e^-x^2-y^2 definida em R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o ponto (1,1) não é um extremo local da função
f(x,y)=2l(x^2+y^2r)e^-,l(x^2+y^2r)
definida em R^2. O conteúdo que vamos usar é que todo extremo local de uma função de duas variáveis é um ponto crítico, ou seja, deve anular o gradiente nabla f. Se em (1,1) tivermos nabla f(1,1)neq(0,0), concluímos imediatamente que não há extremo ali.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Seja r^2=x^2+y^2. Usando a regra do produto em f(x,y)=2,r^2,e^-r^2, obtemos
partial fpartial x =2l(2x,e^-r^2+r^2,(e^-r^2)(-2x)r) =4x,e^-r^2l(1-r^2r),
partial fpartial y =4y,e^-r^2l(1-r^2r)

Passo 3

Avaliamo em (1,1). Aqui r^2=1^2+1^2=2 e e^-r^2=e^-2. Logo
partial fpartial x(1,1) =4cdot1cdot e^-2l(1-2r) =-4,e^-2neq0,
partial fpartial y(1,1) =4cdot1cdot e^-2l(1-2r) =-4,e^-2neq0
Portanto nabla f(1,1)=l(-4e^-2,-4e^-2r)neq(0,0).

Passo 4

Como (1,1) não anula o gradiente, ele não é ponto crítico. Logo não pode ser ponto de máximo nem de mínimo local.

Resposta

(1,1) não é ponto de extremo local da função f.

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