Considere o produto \mathrm{P}_{11}=1!\times 2!\times 3!\times \ldots \times \mathrm{n}! onde \mathrm{n}!=1.2 .3 \ldots \mathrm{n} para todo n inteiro positivo. Demonstre que \frac{P_{2020}}{1010!} é um quadrado perfeito.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede e o que precisamos.
O enunciado define
P_{2020} \;=\;\prod_{k=1}^{2020} k!
e quer que mostremos que
\frac{P_{2020}}{1010!}
é um quadrado perfeito.
O conteúdo central aqui é fatoração em potências de inteiros e emparelhamento de fatores para exhibir um quadrado.
Passo 2
Escrevemos P_{2020} como produto de potências de inteiros. Observe que cada inteiro m aparece em todos os k! para k\ge m. Logo, o expoente de m em P_{2020} é
\#\{\,k:1\le k\le2020,\;k\ge m\}\;=\;2021-m.
Assim
P_{2020}=\prod_{m=1}^{2020}m^{\,2021-m}.
Ao dividir por 1010!, subtraímos 1 do expoente de cada m\le1010. Portanto
e como 1010 é par, esse é um quadrado perfeito.
2. No segundo fator, note que, à medida que i percorre 1,2,\dots,1010, o termo \dfrac{i^{\,1010-i}}{(2021-i)^{\,1010-i}} aparece para i e seu “espelho” j=2021-i. Cada par (i,j) contribui com