Considere o produto \mathrm{P}_{11}=1!\times 2!\times 3!\times \ldots \times \mathrm{n}! onde \mathrm{n}!=1.2 .3 \ldots \mathrm{n} para todo n inteiro positivo. Demonstre que \frac{P_{2020}}{1010!} é um quadrado perfeito.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede e o que precisamos.
O enunciado define
P_{2020} \;=\;\prod_{k=1}^{2020} k!
e quer que mostremos que
\frac{P_{2020}}{1010!}
é um quadrado perfeito.
O conteúdo central aqui é fatoração em potências de inteiros e emparelhamento de fatores para exhibir um quadrado.

Passo 2

Escrevemos P_{2020} como produto de potências de inteiros. Observe que cada inteiro m aparece em todos os k! para k\ge m. Logo, o expoente de m em P_{2020} é
\#\{\,k:1\le k\le2020,\;k\ge m\}\;=\;2021-m.
Assim
P_{2020}=\prod_{m=1}^{2020}m^{\,2021-m}.
Ao dividir por 1010!, subtraímos 1 do expoente de cada m\le1010. Portanto
\frac{P_{2020}}{1010!} =\Bigl(\prod_{m=1}^{1010}m^{\,2021-m}\Bigr)\Bigl(\prod_{m=1011}^{2020}m^{\,2021-m}\Bigr)\Big/\Bigl(\prod_{m=1}^{1010}m\Bigr).
Para 1\le m\le1010 o novo expoente de m é (2021-m)-1=2020-m, e para 1011\le m\le2020 fica 2021-m.

Passo 3

Reindexamos o segundo produto usando i=2021-m.
  • Quando m vai de 1011 até 2020, i vai de 1010 até 1.
  • E m^{\,2021-m} torna-se (2021-i)^{\,i}.
    No fim obtemos
\frac{P_{2020}}{1010!} =\prod_{i=1}^{1010} \underbrace{i^{\,2020-i}\,(2021-i)^{\,i}}_{T_i}.

Passo 4

Vamos mostrar que cada fator
T_i = i^{\,2020-i}\,(2021-i)^{\,i}
se combina em um quadrado global.
Note que 2020 é par, logo 2020=2\cdot1010. Escrevemos
T_i = \bigl(i\,(2021-i)\bigr)^{1010}\;\times\;\underbrace{ \frac{i^{\,2020-i}}{\bigl[i\,(2021-i)\bigr]^{1010}}\; \cdot\; \frac{(2021-i)^{\,i}}{\bigl[i\,(2021-i)\bigr]^{0}} }_{R_i}.
Explicitando,
T_i =\bigl(i(2021-i)\bigr)^{1010}\;\times\; \bigl[i^{\,2020-i-1010}\,(2021-i)^{\,i-0}\bigr] =\bigl(i(2021-i)\bigr)^{1010}\;\times\; \bigl[i^{\,1010-i}\,(2021-i)^{\,i-1010}\bigr].

Passo 5

Observe agora que o produto total é
\prod_{i=1}^{1010}T_i =\Bigl(\prod_{i=1}^{1010}\bigl[i(2021-i)\bigr]^{1010}\Bigr) \;\times\; \prod_{i=1}^{1010}\bigl[i^{\,1010-i}\,(2021-i)^{\,i-1010}\bigr].
  1. O primeiro fator é
\prod_{i=1}^{1010}\bigl[i(2021-i)\bigr]^{1010} =\Bigl(\prod_{i=1}^{1010}i(2021-i)\Bigr)^{1010},
e como 1010 é par, esse é um quadrado perfeito.
2. No segundo fator, note que, à medida que i percorre 1,2,\dots,1010, o termo \dfrac{i^{\,1010-i}}{(2021-i)^{\,1010-i}} aparece para i e seu “espelho” j=2021-i. Cada par (i,j) contribui com
\frac{i^{\,1010-i}}{(2021-i)^{\,1010-i}} \;\times\; \frac{j^{\,1010-j}}{(2021-j)^{\,1010-j}} = \frac{i^{\,1010-i}}{j^{\,1010-i}} \;\times\; \frac{j^{\,i-1}}{i^{\,i-1}} = 1.
Logo todo o segundo fator é 1.

Resposta

Portanto
\frac{P_{2020}}{1010!} =\Bigl(\prod_{i=1}^{1010}i(2021-i)\Bigr)^{1010}
é um quadrado perfeito.

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