18.4.1 Considere a seção de Poincaré
para o oscilador harmônico atenuado
Considere
e mostre que o mapa é dado por
. Faça uma estimativa para
.
Passo 1
O enunciado trata do oscilador harmônico atenuado
com
, e define a seção de Poincaré pelas condições
e
. Queremos achar o mapa que leva cada interceptação
à próxima interceptação
, e mostrar que
além de estimar
.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação diferencial. As raízes do polinômio característico são
logo a solução geral é
com
. A derivada é
Passo 3
Na seção de Poincaré temos
e
, ou seja, pontos de máximo de
. Se em
estamos em tal ponto, então
Assim, ao longo do ciclo
Passo 4
O próximo instante em que
e
ocorre quando
pela primeira vez após
, isto é,
Nesse tempo a amplitude vale
Passo 5
Portanto a Poincaré map é
logo
. Como
temos
e
, de modo que