18.4.1 Considere a seção de Poincaré x>0, y=dotx=0 para o oscilador harmônico atenuado
ddotx+2 a dotx+x=0
Considere 0<a ll 1 e mostre que o mapa é dado por xn+1=b xn com b<1. Faça uma estimativa para b.

Passo 1

O enunciado trata do oscilador harmônico atenuado
ddotx+2adotx+x=0,
com 0<all1, e define a seção de Poincaré pelas condições x>0 e dot x=0. Queremos achar o mapa que leva cada interceptação
(xn,dot xn=0)(xn>0)
à próxima interceptação
(xn+1,0), e mostrar que
xn+1=b,xn, b<1,
além de estimar b.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação diferencial. As raízes do polinômio característico são
lambda=-apm iraiz1-a^2,
logo a solução geral é
x(t)=e^-a tl(Acos(omega t)+Bsin(omega t)r),
com omega=raiz1-a^2. A derivada é
dot x(t)=e^-a tl(-aAcos(omega t)-Aomegasin(omega t)-aBsin(omega t)+Bomegacos(omega t)r)

Passo 3

Na seção de Poincaré temos dot x=0 e x>0, ou seja, pontos de máximo de x(t). Se em t=0 estamos em tal ponto, então
x(0)=xn=A, dot x(0)=0;Longrightarrow;B=0
Assim, ao longo do ciclo
x(t)=xn,e^-a tcos(omega t)

Passo 4

O próximo instante em que dot x=0 e x>0 ocorre quando cos(omega t)=1 pela primeira vez após t=0, isto é,
omega T=2piLongrightarrow T=2piomega
Nesse tempo a amplitude vale
x(T)=xn,e^-a Tcos(omega T)=xn,e^-a Tcdot1

Passo 5

Portanto a Poincaré map é
xn+1=e^-aT,xn,
logo b=e^-aT<1. Como all1 temos omegaapprox1 e Tapprox2pi, de modo que
bapprox e^-2pi a

Resposta

xn+1=b,xn, b=e^-a(2pi/raiz1-a^2)approx e^-2pi a<1

Exercícios de Livros Relacionados