18.4.4 Monte um gráfico para a região de intermitência do mapa logístico em
. Qual é o período dos ciclos? O que acontece em
?
Passo 1
O enunciado pede para explorarmos a chamada intermitência tipo I no mapa logístico
quando
está logo acima de
. Em particular em
devemos “montar” (isto é, simular) o gráfico de
versus
, identificar o período dos ciclos que se manifestam em longos trechos quase periódicos, e explicar o que ocorre em
.
Passo 2
Para “montar” o gráfico de intermitência em
siga este procedimento:
- Escolha uma condição inicial qualquer (por exemplo
). - Itere o mapa
por um total de algumas centenas ou milhares de iterações. - Descarte as primeiras
iterações (transientes) e, para subsequentes, plote versus . - No gráfico você verá longos trechos onde
oscila quase periodicamente (trechos “laminares”) interrompidos por breves “rajadas” de comportamento caótico.
Passo 3
Analisando esses trechos laminares, percebe-se que o padrão que se repete é um ciclo de período 3. Ou seja, durante a parte laminar parecem existir três valores
tais que
com
. Portanto, o período dos ciclos na região de intermitência é 3.
Passo 4
Em
ocorre justamente uma bifurcação tangencial (saddle-node) que dá origem a um par de órbitas de período 3 (uma estável e uma instável). Abaixo desse valor não há órbita estável de período 3, e acima dele ela aparece, gerando intermitência conforme
se afasta de
. No exato ponto
o tempo médio das fases laminares diverge (pois a órbita estável e a instável coalescem), e acima dele surgem ciclos estáveis de período 3.
Resposta
O período dos ciclos na região de intermitência para
é 3. Em
ocorre a bifurcação tangencial que cria/resseca o ciclo de período 3, fazendo com que, naquele exato valor, o tempo de fase laminar fique infinito e, para
, o mapa exiba um ciclo estável de período 3.