18.4.4 Monte um gráfico para a região de intermitência do mapa logístico em mu=3,8319. Qual é o período dos ciclos? O que acontece em mu=1+2 raiz2 ?

Passo 1

O enunciado pede para explorarmos a chamada intermitência tipo I no mapa logístico
xn+1 = mu,xn(1 - xn)
quando mu está logo acima de
muc = 1 + 2raiz2approx3,8284. Em particular em mu=3,8319 devemos “montar” (isto é, simular) o gráfico de xn versus n, identificar o período dos ciclos que se manifestam em longos trechos quase periódicos, e explicar o que ocorre em mu=1+2raiz2.

Passo 2

Para “montar” o gráfico de intermitência em mu=3,8319 siga este procedimento:
  1. Escolha uma condição inicial qualquer (por exemplo ;x0=0,5).
  2. Itere o mapa xn+1 = 3,8319,xn(1 - xn) por um total de algumas centenas ou milhares de iterações.
  3. Descarte as primeiras sim200 iterações (transientes) e, para n subsequentes, plote xn versus n.
  4. No gráfico você verá longos trechos onde xn oscila quase periodicamente (trechos “laminares”) interrompidos por breves “rajadas” de comportamento caótico.

Passo 3

Analisando esses trechos laminares, percebe-se que o padrão que se repete é um ciclo de período 3. Ou seja, durante a parte laminar parecem existir três valores x^*1,x^*2,x^*3 tais que
x^*k+1 = 3,8319,x^*k(1 - x^*k), k=1,2,3,
com x^*4 = x^*1. Portanto, o período dos ciclos na região de intermitência é 3.

Passo 4

Em mu = 1 + 2raiz2 ocorre justamente uma bifurcação tangencial (saddle-node) que dá origem a um par de órbitas de período 3 (uma estável e uma instável). Abaixo desse valor não há órbita estável de período 3, e acima dele ela aparece, gerando intermitência conforme mu se afasta de muc. No exato ponto mu=1+2raiz2 o tempo médio das fases laminares diverge (pois a órbita estável e a instável coalescem), e acima dele surgem ciclos estáveis de período 3.

Resposta

O período dos ciclos na região de intermitência para mu=3,8319 é 3. Em mu=1+2raiz2 ocorre a bifurcação tangencial que cria/resseca o ciclo de período 3, fazendo com que, naquele exato valor, o tempo de fase laminar fique infinito e, para mu>,1+2raiz2, o mapa exiba um ciclo estável de período 3.

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