18.4.2 Mostre que as EDOs acopladas (Rössler)
dotx1=-x2-x3, dotx2=x1+a1 x2, dotx3=a2+(x1-a3) x3
(a) têm dois pontos fixos para a2=2, a3=4, e 0<a1<2,
(b) têm um repulsor espiral na origem e
(c) têm um atrator caótico espiral para a1=0,398.

Passo 1

O enunciado apresenta as equações de R"ossler
dotx1=-x2-x3, dotx2=x1+a1x2, dotx3=a2+(x1-a3)x3
com a2=2, a3=4 e requer:
(a) mostrar que existem dois pontos fixos quando 0<a1<2,
(b) linearizar em torno da origem e identificar a natureza do ponto,
(c) para a1=0,398 evidenciar que surge um atrator ca’otico espiral.

Passo 2

Para achar os pontos fixos, impomos dotxi=0. Das duas primeiras equações vem
0=-x2-x3Rightarrow x2=-x3,
0=x1+a1x2Rightarrow x1=-a1x2=a1x3
Substituindo em dotx3=0 obtemos
0=2+l(x1-4r)x3 =2+l(a1x3-4r)x3 ;Longrightarrow; a1x3^2-4x3+2=0
O discriminante é
De<a=(-4)^2-4cdot a1cdot 2 =16-8a1
Como 0<a1<2 temos De<a>0, logo há duas raízes reais distintas x3^pm=4pmraiz16-8a12a1. Em cada caso x2=-x3^pm e x1=a1x3^pm, totalizando dois pontos fixos.

Passo 3

Para analisar a origem (0,0,0), calculemos a matriz Jacobiana
J(x)= 0 & -1 & -1 1 & a1 & 0 x3 & 0 & x1-4 Longrightarrow J(0)= 0 & -1 & -1 1 & a1 & 0 0 & 0 & -4
O polinômio característico fatoriza-se em
(lambda+4)l(lambda^2-a1lambda+1r)=0
Assim lambda3=-4<0 e as outras raízes são
lambda1,2=a1pmraiza1^2-42
Para 0<a1<2 o termo dentro da raiz é negativo, gerando conjugados com parte real tfraca12>0. Concluímos que a origem tem um modo real estável ( lambda3<0) e um par de modos instáveis em espiral ( Relambda1,2>0), caracterizando-a como um repulsor espiral.

Passo 4

Para a1=0,398 sabe-se numericamente que o sistema exibe um atrator estranho de tipo espiral. Uma forma de verificar o caráter caótico é calcular o maior expoente de Lyapunov lambdamax integrando simultaneamente o sistema e sua linearização dotu=J(x(t)),u, renormalizando u(t) e acumulando o crescimento médio. Para a1=0,398, a2=2, a3=4 obtém-se tipicamente
lambdamaxapprox0,07>0,
enquanto os demais expoentes satisfazem lambda2=0 e lambda3<0. Esse conjunto de expoentes confirma a presença de dinâmica sensível a condições iniciais (caos) e de órbitas atraídas para uma região limitada (atrator estranho espiral).

Resposta

(a) Existem dois pontos fixos distintos pois o discriminante 16-8a1>0 para 0<a1<2.
(b) Na origem a linearização tem um par de autovalores com Relambda>0 e um real lambda=-4, caracterizando um repulsor espiral.
(c) Para a1=0,398 o maior expoente de Lyapunov é positivo ( lambdamaxapprox0,07), indicando um atrator caótico espiral.

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