(a) têm dois pontos fixos para , e ,
(b) têm um repulsor espiral na origem e
(c) têm um atrator caótico espiral para .
Passo 1
O enunciado apresenta as equações de R"ossler
com , e requer:
(a) mostrar que existem dois pontos fixos quando ,
(b) linearizar em torno da origem e identificar a natureza do ponto,
(c) para evidenciar que surge um atrator ca’otico espiral.
Passo 2
Para achar os pontos fixos, impomos . Das duas primeiras equações vem
Substituindo em obtemos
O discriminante é
Como temos , logo há duas raízes reais distintas . Em cada caso e , totalizando dois pontos fixos.
Passo 3
Para analisar a origem , calculemos a matriz Jacobiana
O polinômio característico fatoriza-se em
(lambda+4)l(lambda^2-a1lambda+1r)=0
Assim lambda3=-4<0 e as outras raízes são
lambda1,2=a1pmraiza1^2-42
Para 0<a1<2 o termo dentro da raiz é negativo, gerando conjugados com parte real tfraca12>0. Concluímos que a origem tem um modo real estável (lambda3<0) e um par de modos instáveis em espiral (Relambda1,2>0), caracterizando-a como um repulsor espiral.
Passo 4
Para a1=0,398 sabe-se numericamente que o sistema exibe um atrator estranho de tipo espiral. Uma forma de verificar o caráter caótico é calcular o maior expoente de Lyapunov lambdamax integrando simultaneamente o sistema e sua linearização dotu=J(x(t)),u, renormalizando u(t) e acumulando o crescimento médio. Para a1=0,398, a2=2, a3=4 obtém-se tipicamente
lambdamaxapprox0,07>0,
enquanto os demais expoentes satisfazem lambda2=0 e lambda3<0. Esse conjunto de expoentes confirma a presença de dinâmica sensível a condições iniciais (caos) e de órbitas atraídas para uma região limitada (atrator estranho espiral).
Resposta
(a) Existem dois pontos fixos distintos pois o discriminante 16-8a1>0 para 0<a1<2.
(b) Na origem a linearização tem um par de autovalores com Relambda>0 e um real lambda=-4, caracterizando um repulsor espiral.
(c) Para a1=0,398 o maior expoente de Lyapunov é positivo (lambdamaxapprox0,07), indicando um atrator caótico espiral.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 18.4 - Ex. 18.4.2