44 Considere um trapézio com bases b_{1} e b_{2}, outro lado de comprimento c e um ângulo \theta entre o lado de comprimento c e a base de comprimento b_{1}. Demonstre que a área do trapézio é
\frac{1}{2}\left(b_{1}+b_{2}\right) c \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado dá um trapézio com bases de comprimentos b_{1} e b_{2}, um lado não paralelo de comprimento c e o ângulo \theta entre esse lado e a base de comprimento b_{1}. Para calcular a área, vamos usar a fórmula clássica de área de trapézio e, em seguida, determinar a altura em função de c e \theta.

Passo 2

Denotemos o trapézio por ABCD com AB=b_{1}, CD=b_{2}, AD=c e \angle DAB=\theta. Do ponto D traçamos a perpendicular DE sobre a base AB. O ponto E está em AB (ou em sua extensão), e DE é a altura h do trapézio.

Passo 3

No triângulo retângulo ADE tem-se
\sin\theta = \frac{DE}{AD}
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DE = AD\;\sin\theta = c\,\sin\theta.
Portanto a altura do trapézio é
h = c\,\sin\theta.

Passo 4

A área de um trapézio de bases b_{1} e b_{2} e altura h é
\frac{b_{1}+b_{2}}{2}\;h.
Substituindo h=c\sin\theta obtemos
\frac{b_{1}+b_{2}}{2}\;(c\sin\theta) =\frac12\,(b_{1}+b_{2})\,c\sin\theta.

Resposta

\frac12\,(b_{1}+b_{2})\,c\sin\theta.

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