Construa os gráficos das funções em R definidas por:
f(x)=(12)^2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função exponencial
f(x)=l(tfrac12r)^2x+1
definida em R. O conteúdo envolvido é o de funções exponenciais com base em (0,1). Para desenhar o gráfico, vamos identificar forma equivalente, domínio, imagem, assíntota, interceptos e comportamento (monotonicidade).

Passo 2

Usamos a propriedade de potências l(a^ur)^v=a^u,v e a soma de expoentes para escrever
f(x)=l(tfrac12r)^2x+1 =l(tfrac12r)^1;l(tfrac12r)^2x =tfrac12;l[(tfrac12)^2r]^x =tfrac12;( tfrac14 )^x
Dessa forma, vemos que a base efetiva é tfrac14, com coeficiente tfrac12.

Passo 3

O domínio de f é todo R, pois exponenciais estão definidas em R. A imagem é (0,infty), já que tfrac14>0 e tfrac14^x>0 para todo x. Há uma assíntota horizontal em
y=0,
pois limxto+inftyf(x)=0.

Passo 4

Intercepto em y: substituindo x=0,
f(0)=l(tfrac12r)^1=tfrac12
Não há intercepto em x porque f(x)>0 para todo x.
O gráfico corta o ponto l(0,tfrac12r).

Passo 5

Monotonicidade: como a base tfrac14 está em (0,1), a função é estritamente decrescente em todo R.
Alguns pontos adicionais para esboço:
f(-1)=l(tfrac12r)^2cdot(-1)+1=(tfrac12)^-1=2, f(-tfrac12)=l(tfrac12r)^0=1, f(1)=l(tfrac12r)^3=tfrac18

Passo 6

Com esses dados, podemos traçar o gráfico:
– Passa por (-1,2), (-1/2,1), (0,1/2), (1,1/8).
– É decrescente, fica sempre acima de y=0 e tende a 0 quando xto+infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=l(tfrac12r)^2x+1 é uma curva exponencial decrescente em R, com assíntota y=0, intercepto em (0,tfrac12) e pontos típicos (-1,2), (-1/2,1), (1,1/8).

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