Construa os gráficos das funções em R definidas por:
f(x)=2-3^x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função exponencial
f(x)=2-3^x
sobre R. O conteúdo envolve transformações da função base g(x)=3^x: reflexão em relação ao eixo x e translação vertical.

Passo 2

Identificamos que
f(x)=2-3^x = -(3^x)+2
Isso significa que partimos de g(x)=3^x, refletimos seu gráfico no eixo x (tornando-o decrescente) e em seguida deslocamos tudo verticalmente para cima em 2 unidades.

Passo 3

Analisamos domínio, imagem e assíntota:
  • Domínio: R, pois 3^x está definida para todo xinR.
  • Como 3^x>0 para todo x, temos f(x)=2-3^x<2. Logo a imagem é (-infty,2).
  • Quando xto -infty, 3^xto0 e f(x)to2. Portanto há assíntota horizontal
y=2
  • Quando xto+infty, 3^xto+infty e f(x)to -infty.

Passo 4

Calculamos alguns pontos-chave para orientar o esboço:
f(-1)=2-3^-1=2-tfrac13=tfrac53, f(0)=2-1=1, f(1)=2-3=-1, f(2)=2-9=-7

Passo 5

Para desenhar o gráfico:
  1. Trace a reta horizontal y=2 como assíntota.
  2. Marque os pontos l(-1,tfrac53r), (0,1), (1,-1), (2,-7).
  3. Una esses pontos por uma curva suave, sempre decrescente, que se aproxime de y=2 à esquerda e tenda a -infty à direita.

Resposta

O gráfico de f(x)=2-3^x é uma curva exponencial decrescente com assíntota horizontal y=2, passando pelos pontos l(-1,tfrac53r), (0,1), (1,-1), (2,-7), aproximando-se de y=2 quando xto -infty e caindo verticalmente para -infty quando xto+infty.

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