Construir o gráfico das funções seguintes:
y=2^-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
y = 2^-x^2
O conteúdo principal aqui é análise de funções exponenciais com variável no expoente, em particular reconhecer domínio, imagem, simetria, pontos notáveis e comportamento assintótico para desenhar o esboço do gráfico.

Passo 2

Determinar domínio e imagem:
– O domínio de ,y=2^-x^2 é todo R, pois podemos calcular -x^2 para qualquer x.
– Como 2^u>0 para todo real u, temos y>0. O menor valor de 2^-x^2 ocorre quando -x^2to -infty, dando yto0. O maior valor ocorre quando -x^2=0, isto é, em x=0, dando y=1. Logo a imagem é (0,1].

Passo 3

Verificar simetria:
y(-x) ;=; 2^-(-x)^2 ;=;2^-x^2;=;y(x)
Portanto a função é par, e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Encontrar ponto de máximo e intercepto com o eixo y:
Em x=0 temos
y(0)=2^0=1
Esse é o único valor onde a função atinge seu máximo 1. O gráfico cruza o eixo y no ponto (0,1).

Passo 5

Analisar comportamento assintótico nos extremos:
Quando xto pminfty, o termo -x^2to -infty, e
2^-x^2;to;0
Logo o gráfico se aproxima de y=0 mas sem nunca tocar o eixo x.

Passo 6

Determinar monotonicidade usando derivada:
y = 2^-x^2 Longrightarrow y' = 2^-x^2cdotln(2)cdot(-2x) = -2x,ln(2);2^-x^2
Como 2^-x^2>0 e ln(2)>0:
– Para x<0, temos y'>0 Rightarrow a função é crescente em (-infty,0).
– Para x>0, temos y'<0 Rightarrow a função é decrescente em (0,infty).

Passo 7

Escolher pontos auxiliares para esboço:
– Em x=1: y(1)=2^-1=tfrac12.
– Em x=2: y(2)=2^-4=tfrac116approx0,0625.
Pela paridade também vale para x=-1 e x=-2.
Com esses dados, esboçamos uma “campânula”: atinge 1 em x=0, decai simetricamente passando por (pm1,tfrac12), (pm2,tfrac116) e se aproxima de y=0 nas extremidades.

Resposta

O gráfico de y=2^-x^2 é uma curva em forma de sino, simétrica em relação ao eixo y, com máximo (0,1), valor tfrac12 em x=pm1, valor tfrac116 em x=pm2, e que se aproxima de y=0 quando xtopminfty.

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