Construir o gráfico das funções seguintes:
.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
O conteúdo principal aqui é análise de funções exponenciais com variável no expoente, em particular reconhecer domínio, imagem, simetria, pontos notáveis e comportamento assintótico para desenhar o esboço do gráfico.
Passo 2
Determinar domínio e imagem:
– O domínio de é todo
, pois podemos calcular
para qualquer
.
– Como para todo real
, temos
. O menor valor de
ocorre quando
, dando
. O maior valor ocorre quando
, isto é, em
, dando
. Logo a imagem é
.
– O domínio de
– Como
Passo 3
Verificar simetria:
Portanto a função é par, e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Encontrar ponto de máximo e intercepto com o eixo
:
Em temos
Em
Esse é o único valor onde a função atinge seu máximo
. O gráfico cruza o eixo
no ponto
.
Passo 5
Analisar comportamento assintótico nos extremos:
Quando , o termo
, e
Quando
Logo o gráfico se aproxima de
mas sem nunca tocar o eixo
.
Passo 6
Determinar monotonicidade usando derivada:
Como
e
:
– Para , temos
a função é crescente em
.
– Para , temos
a função é decrescente em
.
– Para
– Para
Passo 7
Escolher pontos auxiliares para esboço:
– Em :
.
– Em :
.
Pela paridade também vale para e
.
– Em
– Em
Pela paridade também vale para
Com esses dados, esboçamos uma “campânula”: atinge
em
, decai simetricamente passando por
,
e se aproxima de
nas extremidades.
Resposta
O gráfico de
é uma curva em forma de sino, simétrica em relação ao eixo
, com máximo
, valor
em
, valor
em
, e que se aproxima de
quando
.