Construir o gráfico das funções seguintes:
y==sen(x+pi4).

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
y = sin!l(x + tfracpi4r)
O conteúdo envolvido é o de transformações de gráficas de funções trigonométricas: usamos o gráfico de y=sin x (amplitude igual a 1, período igual a 2pi, zeros em x=kpi, máximo em x=tfracpi2+2kpi, mínimo em x=-tfracpi2+2kpi) e aplicamos um deslocamento horizontal.

Passo 2

Identificamos o deslocamento: a função está em termos de x + tfracpi4, ou seja, tomamos o gráfico de y=sin x e deslocamos tudo para a esquerda em tfracpi4. Isso porque, se u = x+tfracpi4, estudar y=sin u e depois trocar umapsto x+tfracpi4 desloca o gráfico de u para x em -tfracpi4.

Passo 3

Para traçar um período típico, escolhemos a janela desde o primeiro zero até o próximo zero, ou seja, resolvemos
x + tfracpi4 = npi Longrightarrow x = npi - tfracpi4
Para n=0 obtemos x=-tfracpi4. Para n=1 obtemos x=pi-tfracpi4=tfrac3pi4. Logo, entre -tfracpi4 e tfrac3pi4 temos um período completo.

Passo 4

Em seguida, achamos os pontos de máximo e mínimo dentro desse intervalo, resolvendo
máximo:
x + tfracpi4 = tfracpi2 ;Longrightarrow; x = tfracpi2 - tfracpi4 = tfracpi4,
mínimo:
x + tfracpi4 = -tfracpi2 ;Longrightarrow; x = -tfracpi2 - tfracpi4 = -tfrac3pi4,
mas -tfrac3pi4 fica fora do nosso primeiro intervalo l[-tfracpi4,tfrac3pi4r]. O mínimo seguinte ocorre para x + tfracpi4 = tfrac3pi2, dando
x = tfrac3pi2 - tfracpi4 = tfrac5pi4,
que também está fora do intervalo inicial. Então, dentro de l[-tfracpi4,tfrac3pi4r] só temos o zero em -tfracpi4, o máximo em tfracpi4, e o zero em tfrac3pi4.

Passo 5

Construímos uma tabela de pontos-chave para um período:
c|ccccc x & -tfracpi4 & tfracpi4 & tfrac3pi4 & tfrac5pi4 & tfrac7pi4hline x+tfracpi4 & 0 & tfracpi2 & pi & tfrac3pi2 & 2pi y=sin(x+tfracpi4) & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
Isso mostra os cinco pontos por onde passa o seno deslocado.

Passo 6

Agora desenhe:
  • No eixo x, marque -tfracpi4, tfracpi4, tfrac3pi4, tfrac5pi4 e tfrac7pi4.
  • Em cada ponto, marque o valor de y (0, 1, 0, –1, 0).
  • Una suavemente esses pontos, lembrando que entre cada par o seno faz subida ou descida suave.

Resposta

O gráfico de y=sin!l(x+tfracpi4r) é exatamente o de y=sin x deslocado horizontalmente para a esquerda em tfracpi4. Visando um período principal, os pontos-chave são:
(-tfracpi4,0),;(tfracpi4,1),;(tfrac3pi4,0),;(tfrac5pi4,-1),;(tfrac7pi4,0),
e a curva é a clássica forma de S do seno passando por esses pontos.

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