Construir o gráfico das funções seguintes:
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Este é um caso de função potência com expoente negativo. Vamos precisar determinar o domínio, alguns pontos notáveis, limites para assíntotas, monotonicidade e concavidade para depois desenhar a curva.
Passo 2
Determinar o domínio e alguns pontos para montar uma “tabela” de apoio.
O domínio é
O domínio é
pois não faz sentido
para
.
Escolhendo alguns valores de positivos:
Escolhendo alguns valores de
Passo 3
Calcular os limites que definem as assíntotas.
Como ,
e, portanto,
Como
o que indica uma assíntota vertical em
.
Como ,
e
Como
o que indica uma assíntota horizontal em
.
Passo 4
Analisar derivadas para monotonicidade e concavidade.
A derivada primeira é
A derivada primeira é
logo a função é estritamente decrescente no domínio.
A derivada segunda é
A derivada segunda é
logo a curva é côncava para cima.
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico:
- Está inteiramente no primeiro quadrante (pois
para ). - Tem assíntota vertical em
(vai a quando ). - Tem assíntota horizontal em
(aproxima-se de zero quando ). - Passa por pontos como
, , . - É estritamente decrescente e côncava para cima, formando a típica “cauda” que desce suavemente em direção ao eixo
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva no primeiro quadrante com assíntotas
(vertical) e
(horizontal), passa por
,
etc., decresce sempre e é côncava para cima.