Construir o gráfico das funções seguintes:
y=x^-12.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = x^-tfrac12 = 1raizx
Este é um caso de função potência com expoente negativo. Vamos precisar determinar o domínio, alguns pontos notáveis, limites para assíntotas, monotonicidade e concavidade para depois desenhar a curva.

Passo 2

Determinar o domínio e alguns pontos para montar uma “tabela” de apoio.
O domínio é
x>0,
pois não faz sentido raizx para x<=0.
Escolhendo alguns valores de x positivos:
c|cccc x & 0,25 & 1 & 4 & 9 hline y=1raizx & 2 & 1 & 0,5 & 0,333ldots

Passo 3

Calcular os limites que definem as assíntotas.
Como xto0^+, raizxto0^+ e, portanto,
limxto0^+1raizx = +infty,
o que indica uma assíntota vertical em x=0.
Como xto+infty, raizxto+infty e
limxto+infty1raizx = 0,
o que indica uma assíntota horizontal em y=0.

Passo 4

Analisar derivadas para monotonicidade e concavidade.
A derivada primeira é
y' = -tfrac12,x^-tfrac32 < 0para x>0,
logo a função é estritamente decrescente no domínio.
A derivada segunda é
y'' = 34,x^-tfrac52 > 0para x>0,
logo a curva é côncava para cima.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Está inteiramente no primeiro quadrante (pois y>0 para x>0).
  • Tem assíntota vertical em x=0 (vai a +infty quando xto0^+).
  • Tem assíntota horizontal em y=0 (aproxima-se de zero quando xto+infty).
  • Passa por pontos como (1,1), (4,0,5), (0,25,2).
  • É estritamente decrescente e côncava para cima, formando a típica “cauda” que desce suavemente em direção ao eixo x.

Resposta

O gráfico de y=x^-tfrac12 é uma curva no primeiro quadrante com assíntotas x=0 (vertical) e y=0 (horizontal), passa por (1,1), (4,0,5) etc., decresce sempre e é côncava para cima.

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