Construir o gráfico das funções seguintes:
y=x^5.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função de potência ímpar
y = x^5
O conteúdo envolvido é: domínio e imagem de funções, derivadas para monotonicidade e concavidade, pontos notáveis e simetria de funções ímpares.

Passo 2

Determinamos domínio e imagem: como é um polinômio, o domínio é
R
e, à medida que xtopminfty, temos ytopminfty. Portanto a imagem também é
R

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para estudar monotonicidade:
dydx = 5x^4
Como x^4>=0 para todo x, então dydx>=0 em R. Logo a função é estritamente crescente (com ponto de platô apenas em x=0, mas sem mudar de sinal da derivada).

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão:
d^2ydx^2 = 20x^3
  • Para x<0, 20x^3<0 Rightarrow concavidade para baixo.
  • Para x>0, 20x^3>0 Rightarrow concavidade para cima.
    Há ponto de inflexão em x=0.

Passo 5

Determinamos interceptos e simetria:
  • Intercepto com o eixo y: y(0)=0.
  • Não há outro zero além de x=0.
  • A função é ímpar, pois
;f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x),
logo o gráfico é simétrico por rotação de 180^circ em torno da origem.

Passo 6

Escolhemos pontos chave para esboçar:
c|ccccc x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2hline y=x^5 & -32 & -1 & 0 & 1 & 32

Passo 7

Montamos o esboço:
1. Desenhamos eixos coordenados.
2. Marcamos os pontos (-2,-32), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,32).
3. Ligamos suavemente: curva cada vez mais íngreme conforme lvert xrvert cresce, com inflexão em x=0, concavidade para baixo à esquerda e para cima à direita.

Resposta

O gráfico de y=x^5 é uma curva crescente, originária em (0,0), que é ímpar (simetria de rotação) e tem ponto de inflexão em x=0. Para lvert xrvert grande o crescimento é rápido, e próximo de zero a curva é relativamente plana.

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