Construir o gráfico das funções seguintes:
.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função de potência ímpar
O conteúdo envolvido é: domínio e imagem de funções, derivadas para monotonicidade e concavidade, pontos notáveis e simetria de funções ímpares.
Passo 2
Determinamos domínio e imagem: como é um polinômio, o domínio é
e, à medida que
, temos
. Portanto a imagem também é
Passo 3
Calculamos a derivada primeira para estudar monotonicidade:
Como
para todo
, então
em
. Logo a função é estritamente crescente (com ponto de platô apenas em
, mas sem mudar de sinal da derivada).
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão:
- Para
, concavidade para baixo. - Para
, concavidade para cima.
Há ponto de inflexão em.
Passo 5
Determinamos interceptos e simetria:
- Intercepto com o eixo
: . - Não há outro zero além de
. - A função é ímpar, pois
logo o gráfico é simétrico por rotação de
em torno da origem.
Passo 6
Escolhemos pontos chave para esboçar:
Passo 7
Montamos o esboço:
. Desenhamos eixos coordenados.
. Marcamos os pontos
,
,
,
,
.
. Ligamos suavemente: curva cada vez mais íngreme conforme
cresce, com inflexão em
, concavidade para baixo à esquerda e para cima à direita.
Resposta
O gráfico de
é uma curva crescente, originária em
, que é ímpar (simetria de rotação) e tem ponto de inflexão em
. Para
grande o crescimento é rápido, e próximo de zero a curva é relativamente plana.