Se fn e gn convergem uniformemente em E, prove que fn ^prime prime+gn converge uniformamonte em E. Se, ademais, fn e gn são sucessర్es de funçes limitadas, prove que fn gn converge uniformemente em E.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar dois fatos sobre sequências de funções em um conjunto E:
  1. Se fn converge uniformemente para f em E e gn converge uniformemente para g em E, então fn+gn converge uniformemente para f+g em E.
  2. Se além disso cada fn e gn são famílias de funções limitadas (isto é, existem constantes Mf,Mg tais que lvert fn(x)rvert<= Mf e lvert gn(x)rvert<= Mg em todo xin E), então fn,gn converge uniformemente para f,g em E.
    Vamos usar a definição de convergência uniforme (controle via varepsilon) e manipular desigualdades usando a desigualdade triangular.

Passo 2

Prova da convergência uniforme de fn+gn.
Como fnto f uniformemente, existe N1 tal que para todo n>= N1 e todo xin E
lvert fn(x)-f(x)rvert<varepsilon/2
Como gnto g uniformemente, existe N2 tal que para todo n>= N2 e todo xin E
lvert gn(x)-g(x)rvert<varepsilon/2
Tomando N=maxN1,N2, para todo n>= N e todo xin E vale
lvert(fn+gn)(x)-(f+g)(x)rvert =lvert fn(x)-f(x)+gn(x)-g(x)rvert <= lvert fn(x)-f(x)rvert+lvert gn(x)-g(x)rvert <varepsilon2+varepsilon2=varepsilon
Concluímos que supxin Elvert(fn+gn)(x)-(f+g)(x)rvert<varepsilon para todo n>= N, isto é, fn+gn converge uniformemente para f+g em E.

Passo 3

Prova da convergência uniforme de fn,gn sob hipótese de limitacão.
Sejam Mf e Mg constantes tais que lvert fn(x)rvert<= Mf e lvert gn(x)rvert<= Mg em todo xin E e todo n.
Como antes, fixe varepsilon>0. Pela convergência uniforme fnto f existe N1 tal que para n>= N1
supxin Elvert fn(x)-f(x)rvert<varepsilon2Mg+1,
e pela convergência uniforme gnto g existe N2 tal que para n>= N2
supxin Elvert gn(x)-g(x)rvert<varepsilon2Mf+1
Tomando N=maxN1,N2, para n>= N e todo xin E temos
lvert fn(x),gn(x)-f(x),g(x)rvert &=lvert fn(x)l(gn(x)-g(x)r)+g(x)l(fn(x)-f(x)r)rvert &<= lvert fn(x)rvert,lvert gn(x)-g(x)rvert +lvert g(x)rvert,lvert fn(x)-f(x)rvert &<= MfsupElvert gn-grvert +MgsupElvert fn-frvert < Mfvarepsilon2Mf+1+Mgvarepsilon2Mg+1
Note que
Mf12Mf+1+Mg12Mg+1<12+12=1,
logo todo o conjunto fica abaixo de varepsilon.
Portanto supxin Elvert fn(x),gn(x)-f(x),g(x)rvert<varepsilon para n>= N, isto é, fn,gn converge uniformemente para f,g em E.

Resposta

(a) fn+gn converge uniformemente para f+g em E.
(b) Se fn e gn são também limitadas, então fn,gn converge uniformemente para f,g em E.

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