Se
e
convergem uniformemente em
, prove que
converge uniformamonte em E. Se, ademais,
e
são sucessర్es de funçes limitadas, prove que
converge uniformemente em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar dois fatos sobre sequências de funções em um conjunto
:
- Se
converge uniformemente para em e converge uniformemente para em , então converge uniformemente para em . - Se além disso cada
e são famílias de funções limitadas (isto é, existem constantes tais que e em todo ), então converge uniformemente para em .
Vamos usar a definição de convergência uniforme (controle via) e manipular desigualdades usando a desigualdade triangular.
Passo 2
Prova da convergência uniforme de
.
Como uniformemente, existe
tal que para todo
e todo
Como
Como
uniformemente, existe
tal que para todo
e todo
Tomando
, para todo
e todo
vale
Concluímos que
para todo
, isto é,
converge uniformemente para
em
.
Passo 3
Prova da convergência uniforme de
sob hipótese de limitacão.
Sejam e
constantes tais que
e
em todo
e todo
.
Como antes, fixe . Pela convergência uniforme
existe
tal que para
Sejam
Como antes, fixe
e pela convergência uniforme
existe
tal que para
Tomando
, para
e todo
temos
Note que
logo todo o conjunto fica abaixo de
.
Portanto para
, isto é,
converge uniformemente para
em
.
Portanto
Resposta
(a)
converge uniformemente para
em
.
(b) Se e
são também limitadas, então
converge uniformemente para
em
.
(b) Se