O que é convergência absoluta? Convergência condicional? Convergência uniforme?

Passo 1

O enunciado pede para definirmos três conceitos de convergência em análise: convergência absoluta e condicional para séries numéricas, e convergência uniforme para sequências de funções. Para isso, vamos usar a teoria de séries numéricas e de sequências de funções em espaços métricos (por exemplo, D\subset\mathbb{R}).

Passo 2

Convergência absoluta de uma série numérica. Seja a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}.
Dizemos que ela converge absolutamente se a série dos módulos também converge, ou seja:
\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| \quad\text{converge}.
Teorema importante: toda série que converge absolutamente também converge (convergência simples).

Passo 3

Convergência condicional de uma série numérica. Ainda para
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n},
dizemos que ela converge condicionalmente se
1. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge,
2. mas \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| diverge.
Ou seja, a série só converge graças aos sinais alternados ou cancelamentos, não pelos módulos.

Passo 4

Convergência uniforme de uma sequência de funções. Seja (f_{n}) uma sequência de funções f_{n}:D\to\mathbb{R} e f:D\to\mathbb{R}. Dizemos que f_{n} converge uniformemente para f em D se
\forall \varepsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N}\text{ tal que }\forall n\ge N,\;\forall x\in D,\;|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon.
O ponto-chave é que o mesmo N serve para todo x\in D, garantindo controle uniforme do erro.

Resposta

\bullet Convergência absoluta: a série \sum a_{n} é absolutamente convergente se \sum |a_{n}| converge.
\bullet Convergência condicional: a série \sum a_{n} converge condicionalmente se converge, mas \sum |a_{n}| diverge.
\bullet Convergência uniforme: f_{n}\to f uniformemente em D se
\forall \varepsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N}\text{ tal que }\forall n\ge N,\;\forall x\in D,\;|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon.

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