O que é convergência absoluta? Convergência condicional? Convergência uniforme?
Passo 1
O enunciado pede para definirmos três conceitos de convergência em análise: convergência absoluta e condicional para séries numéricas, e convergência uniforme para sequências de funções. Para isso, vamos usar a teoria de séries numéricas e de sequências de funções em espaços métricos (por exemplo,
).
Passo 2
Convergência absoluta de uma série numérica. Seja a série
Dizemos que ela converge absolutamente se a série dos módulos também converge, ou seja:
Teorema importante: toda série que converge absolutamente também converge (convergência simples).
Passo 3
Convergência condicional de uma série numérica. Ainda para
,
dizemos que ela converge condicionalmente se
.
converge,
. mas
diverge.
Ou seja, a série só converge graças aos sinais alternados ou cancelamentos, não pelos módulos.
dizemos que ela converge condicionalmente se
Ou seja, a série só converge graças aos sinais alternados ou cancelamentos, não pelos módulos.
Passo 4
Convergência uniforme de uma sequência de funções. Seja
uma sequência de funções
e
. Dizemos que
converge uniformemente para
em
se
O ponto-chave é que o mesmo
serve para todo
, garantindo controle uniforme do erro.