O custo anual de fabricação de x unidades de um produto é C=0,01 x^2+5 x+200. Obtenha o valor de x que minimiza o custo médio.

Passo 1

O enunciado dá o custo anual de fabricação de x unidades como
C(x)=0,01,x^2+5,x+200
e pede o valor de x que minimiza o custo médio. O conteúdo aqui é otimização de função pela derivada, e vamos usar o conceito de custo médio e teste da segunda derivada.

Passo 2

O custo médio é definido por
Cm(x)=C(x)x=0,01,x^2+5,x+200x=0,01,x+5+200x,
válido para x>0. Nosso objetivo é encontrar o ponto crítico de Cm(x).

Passo 3

Calcúlamos a derivada de Cm(x) para achar o ponto onde ela zera:
Cm'(x)=ddxl(0,01,x+5+tfrac200xr) =0,01-200x^2
Igualando a zero,
0,01-200x^2=0 Longrightarrow 0,01=200x^2 Longrightarrow x^2=2000,01=20000 Longrightarrow x= raiz20000=100raiz2

Passo 4

Para confirmar que é mínimo, olhamos a segunda derivada:
Cm''(x)=ddxl(0,01-tfrac200x^2r) =400x^3>0para x>0
Como Cm''(x)>0, o ponto x=100raiz2 é realmente um mínimo.

Resposta

O valor de x que minimiza o custo médio é
x=100raiz2approx141,4 unidades

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