CUSTO DE INSTALAÇÃO Em certa fábrica, o custo de instalação é diretamente proporcional ao número
de máquinas e o custo de operação é inversamente proporcional a
. Mostre que, quando o custo total é mínimo, o custo de instalação é igual ao custo de operação.
Passo 1
O enunciado diz que o custo de instalação
é diretamente proporcional ao número de máquinas
e que o custo de operação
é inversamente proporcional a
. Vamos modelar isso com constantes de proporcionalidade e usar cálculo de derivadas para encontrar o valor de
que minimiza o custo total
.
Passo 2
Definimos constantes positivas
e
tais que
Então o custo total é
Passo 3
Para encontrar o mínimo de
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
A condição
dá
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente
e o direito é
. Logo, no ponto de custo total mínimo,
Passo 5
Para garantir que esse ponto seja um mínimo, verificamos a segunda derivada:
Como
, o ponto obtido é de fato um mínimo.
Resposta
Quando o custo total é mínimo, o custo de instalação é igual ao custo de operação.