CUSTO DE INSTALAÇÃO Em certa fábrica, o custo de instalação é diretamente proporcional ao número N de máquinas e o custo de operação é inversamente proporcional a N. Mostre que, quando o custo total é mínimo, o custo de instalação é igual ao custo de operação.

Passo 1

O enunciado diz que o custo de instalação C_i é diretamente proporcional ao número de máquinas N e que o custo de operação C_o é inversamente proporcional a N. Vamos modelar isso com constantes de proporcionalidade e usar cálculo de derivadas para encontrar o valor de N que minimiza o custo total C(N)=C_i(N)+C_o(N).

Passo 2

Definimos constantes positivas k_i e k_o tais que
C_i(N)=k_i\,N,
C_o(N)=\frac{k_o}{N}.
Então o custo total é
C(N)=C_i(N)+C_o(N)=k_i\,N+\frac{k_o}{N}.

Passo 3

Para encontrar o mínimo de C(N), calculamos a derivada e igualamos a zero:
C'(N)=\frac{d}{dN}\Bigl(k_i\,N+\frac{k_o}{N}\Bigr) =k_i - k_o\,N^{-2}.
A condição C'(N)=0
k_i - \frac{k_o}{N^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad k_i = \frac{k_o}{N^2}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por N obtemos
k_i\,N = \frac{k_o}{N}.
O lado esquerdo é exatamente C_i(N) e o direito é C_o(N). Logo, no ponto de custo total mínimo,
C_i(N)=C_o(N).

Passo 5

Para garantir que esse ponto seja um mínimo, verificamos a segunda derivada:
C''(N)=\frac{d}{dN}\bigl(k_i - k_o\,N^{-2}\bigr) =2\,k_o\,N^{-3}>0 \quad\text{para }N>0.
Como C''(N)>0, o ponto obtido é de fato um mínimo.

Resposta

Quando o custo total é mínimo, o custo de instalação é igual ao custo de operação.

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