CUSTO DE INSTALAÇÃO Pretende-se estender um cabo de uma usina de energia elétrica situada na margem de um rio com 1.200 metros de largura até uma fábrica do outro lado do rio, 1.500 metros rio abaixo. O custo para estender um cabo no fundo do rio é R\ 25,00 o metro e o custo para estender um cabo em terra ééR$20,00$ o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?

Passo 1

Temos uma usina situada na margem norte de um rio de largura 1\,200 m e uma fábrica na margem sul, 1\,500 m rio abaixo. O custo de cabear abaixo d’água é \text{R\$}25{,}00/m e em terra é \text{R\$ }20{,}00/m. Queremos escolher o ponto de desembarque do cabo na margem sul de modo a minimizar o custo total.

Passo 2

Coloquemos um sistema de coordenadas em que a usina fica na origem (0,0). O eixo x é paralelo ao rio (positivo rio abaixo) e o eixo y aponta para a margem sul (negativo). Assim, a fábrica está em \bigl(1500,\,-1200\bigr). Seja x a abscissa do ponto P onde o cabo sai da água na margem sul, isto é, P=(x,-1200).

Passo 3

O comprimento do trecho subaquático é
L_{\rm água}=\sqrt{(x-0)^2+(-1200-0)^2} =\sqrt{x^2+1200^2}.á
O trecho em terra vai de P até (1500,-1200) e tem comprimento
L_{\rm terra}=\bigl|1500-x\bigr|.
Logo, o custo total é
C(x) =25\;\sqrt{x^2+1200^2} +20\;\bigl|1500-x\bigr|.

Passo 4

Como faz sentido desembarcar entre x=0 e x>1500, analisamos a parte em que x\le1500 (pois se o mínimo cair em (1500,\infty) avaliamos depois). Para 0\le x\le1500 temos \bigl|1500-x\bigr|=1500-x, daí
C(x)=25\sqrt{x^2+1200^2}+20(1500-x).
Derivando e igualando a zero:
C'(x) =25\frac{x}{\sqrt{x^2+1200^2}}-20 \quad\Longrightarrow\quad 25\frac{x}{\sqrt{x^2+1200^2}}=20 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{\sqrt{x^2+1200^2}}=\frac{4}{5}.
Elevando ao quadrado,
\frac{x^2}{x^2+1200^2}=\frac{16}{25} \quad\Longrightarrow\quad 25x^2=16x^2+16\cdot1200^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2=\frac{16\cdot1200^2}{9} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{4\cdot1200}{3}=1600.
Esse crítico x=1600 fica fora do intervalo [0,1500], portanto em [0,1500] C(x) é decrescente e o mínimo ocorre em x=1500.

Passo 5

Para x=1500 temos L_{\rm terra}=0, ou seja, não há trecho em terra e o cabo vai direto de (0,0) a (1500,-1200) sob o rio. O custo é
C(1500) =25\sqrt{1500^2+1200^2} =25\cdot1920{,}94\approx\text{R\$ }48\,023{,}50,
que é menor que qualquer mistura de terra e água.

Resposta

O percurso mais econômico é instalar o cabo totalmente abaixo do rio, seguindo em linha reta da usina até a fábrica.

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