CUSTO DE PRODUÇÃO Uma fábrica de produtos de plástico recebeu uma encomenda para fabricar 8.000 pranchas de isopor. A firma possui 10 máquinas, cada uma das quais é capaz de produzir 30 pranchas por hora. O custo de programar as máquinas para fabricar as pranchas é R\ 20,00 por máquina. As máquinas são automáticas e necessitam apenas de um supervisor, que ganhaááãáR$15,00$ por hora.
a. Quantas máquinas devem ser usadas para minimizar o custo de produção?
b. Quanto ganhará o supervisor pelo trabalho se o número ideal de máquinas for usado?
c. Qual será o custo para programar as máquinas?

Passo 1

O enunciado trata de otimizar o custo total para produzir 8 000 pranchas usando até 10 máquinas, cada uma produz 30 pranchas por hora. Há custo fixo de programação de \text{R\$}20,00 por máquina e custo variável de supervisão de \text{R\$}15,00 por hora. O conteúdo necessário é modelar uma função custo e encontrar seu mínimo.

Passo 2

Seja x o número de máquinas utilizadas ( 1\le x\le10). A produção por hora é 30x pranchas, logo o tempo necessário é
T = \frac{8000}{30x}\\ \text{horas}.
O custo de programação é \text{R\$}20,00 por máquina, total \text{R\$}20,00\,x.
O custo de supervisão é \text{R\$}15,00 por hora, total \text{R\$}15,00\,T.
Assim, a função custo total (em reais) é
C(x) = 20x + 15\cdot\frac{8000}{30x} = 20x + \frac{4000}{x}.

Passo 3

Para minimizar C(x) em \mathbb{R}^+, calculamos
C'(x) = 20 - \frac{4000}{x^2}.
Resolvendo C'(x)=0 x^2=200, isto é x\approx14{,}14. Como só há até 10 máquinas, verifica-se que C'(x)<0 para todo 1\le x\le10, ou seja, C decresce nesse intervalo. Logo o mínimo ocorre em x=10.

Passo 4

Com x=10, o tempo de produção é
T = \frac{8000}{30\cdot10} = \frac{8000}{300} = \frac{80}{3}\approx26{,}67\\ \text{horas}.

Passo 5

O supervisor ganha \text{R\$}15,00 por hora, portanto receberá
15 \cdot \frac{80}{3} = 400,
isto é, \text{R\$}400,00.

Passo 6

O custo de programar as 10 máquinas é
20 \cdot 10 = 200,
isto é, \text{R\$}200,00.

Resposta

(a) 10 máquinas
(b) \text{R\$}400,00
(c) \text{R\$}200,00

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