LUCRO Uma loja de material esportivo pode conseguir bolas de tênis a um preço de R \ 5,00 a caixa. A loja tem vendido as bolas a R 10,00 a caixa e, por esse preço, vende em média 25 caixas por mês. A loja pretende diminuir o preço para aumentar as vendas e estima que, para cada redução de 25 centavos no preço, mais 5 caixas serão vendidas por mês. Por que preço as bolas devem ser vendidas para que o lucro seja o maior possível?

Passo 1

O enunciado diz que o custo de cada caixa é \$5, o preço de venda inicial é \$10 e a quantidade vendida é 25 caixas por mês. A cada redução de \$0,25 no preço, a demanda aumenta em 5 caixas. Vamos modelar o lucro mensal como função do número de reduções.

Passo 2

Definimos x como o número de reduções de \$0,25.
O preço de venda passa a ser
p(x)=10-0,25\,x
e a quantidade vendida
q(x)=25+5\,x.

Passo 3

A função lucro é receita menos custo. A margem por caixa é p(x)-5, logo
\pi(x)=(p(x)-5)\,q(x)=(10-0,25x-5)\,(25+5x).

Passo 4

Expandindo a expressão, obtemos
\pi(x)=(5-0,25x)(25+5x)=125+18,75x-1,25x^2.
Trata-se de uma parábola com coeficiente quadrático negativo; o máximo ocorre em
x^*=-\frac{b}{2a}=-\frac{18,75}{2\cdot(-1,25)}=7,5.

Passo 5

O preço ótimo de venda é
p(x^*)=10-0,25\cdot7,5=10-1,875=8,125.

Resposta

As bolas devem ser vendidas a aproximadamente \text{R\$ }8,13 por caixa para maximizar o lucro.

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