O custo C(x) para produzir x unidades de um produto é dado. Em cada caso:
(a) Determine o custo marginal C^{\prime}(x).
(b) Determine o nível x de produção para o qual o custo médio A(x)=C(x) / x é mínimo.
C(x)=12 \sqrt{x} e^{x / 10}

Passo 1

O enunciado dá a função de custo
C(x) = 12\sqrt{x}\,e^{x/10}
e pede:
(a) o custo marginal C'(x), que é a derivada de C;
(b) o nível x que minimiza o custo médio
A(x)=\frac{C(x)}{x}.
Para isso vamos usar regra do produto e otimização via derivada.

Passo 2

Calculamos C'(x) aplicando regra do produto a
C(x)=12\,x^{1/2}\,e^{x/10}.
Seja u(x)=12\,x^{1/2} e v(x)=e^{x/10}. Então
u'(x)=12\cdot\frac12\,x^{-1/2}=6\,x^{-1/2}, \qquad v'(x)=e^{x/10}\cdot\frac1{10}.
Pela regra do produto
C'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Substituindo,
C'(x) =6\,x^{-1/2}\,e^{x/10} +12\,x^{1/2}\,\Bigl(e^{x/10}\cdot\frac1{10}\Bigr) =e^{x/10}\Bigl(6\,x^{-1/2}+\frac{12}{10}\,x^{1/2}\Bigr).
Podemos simplificar o segundo termo \tfrac{12}{10}= \tfrac{6}{5}, ficando
C'(x) =e^{x/10}\Bigl(6\,x^{-1/2}+\tfrac{6}{5}\,x^{1/2}\Bigr).

Passo 4

Agora A(x)=C(x)/x=12\,x^{-1/2}\,e^{x/10}. Para achar mínimo de A, calculamos
A'(x) =12\bigl(\,-\tfrac12\,x^{-3/2}\,e^{x/10} +x^{-1/2}\,e^{x/10}\cdot\tfrac1{10}\bigr) =12\,e^{x/10}\Bigl(-\tfrac1{2}x^{-3/2}+\tfrac1{10}x^{-1/2}\Bigr).

Passo 5

Para otimizar, igualamos A'(x)=0. Como 12\,e^{x/10}>0, basta
-\tfrac1{2}x^{-3/2}+\tfrac1{10}x^{-1/2}=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac1{10}x^{-1/2}=\tfrac1{2}x^{-3/2} \;\Longrightarrow\; x=5.
Esse é o ponto crítico.

Passo 6

Verificando que A'(x) muda de negativo para positivo em x=5, concluímos que é mínimo de A.

Resposta

(a)
C'(x) =e^{x/10}\Bigl(6\,x^{-1/2}+\tfrac{6}{5}\,x^{1/2}\Bigr).
(b)
O custo médio é mínimo em x=5.

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