O custo
para produzir
unidades de um produto é dado. Em cada caso:
(a) Determine o custo marginal
.
(b) Determine o nível
de produção para o qual o custo médio
é mínimo.
(a) Determine o custo marginal
(b) Determine o nível
Passo 1
O enunciado dá a função de custo
e pede:
(a) o custo marginal , que é a derivada de
;
(b) o nível que minimiza o custo médio
(a) o custo marginal
(b) o nível
Para isso vamos usar regra do produto e otimização via derivada.
Passo 2
Calculamos
aplicando regra do produto a
Seja
e
. Então
Pela regra do produto
Passo 3
Substituindo,
Podemos simplificar o segundo termo
, ficando
Passo 4
Agora
. Para achar mínimo de
, calculamos
Passo 5
Para otimizar, igualamos
. Como
, basta
Esse é o ponto crítico.
Passo 6
Verificando que
muda de negativo para positivo em
, concluímos que é mínimo de
.
Resposta
(a)
(b)
O custo médio é mínimo em .
O custo médio é mínimo em