O custo total, em reais, de uma empresa para a produção de x unidades de um certo produto é de C(x)=5 x^2+3 x+10. Sabendo que o nível atual de produção é de 30 unidades, utilize a aproximação linear para determinar o custo total se 30,5 unidades forem produzidas.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total
C(x)=5x^2+3x+10
e pede a estimativa de C(30,5) usando aproximação linear em torno de x0=30. Vamos usar o conteúdo de derivada e reta tangente (aproximação linear).

Passo 2

Calculamos a derivada
C'(x)=ddx(5x^2+3x+10)=10x+3,
de onde
C'(30)=10cdot30+3=303
Também avaliamos o custo exato em x0:
C(30)=5cdot30^2+3cdot30+10=4500+90+10=4600

Passo 3

A aproximação linear (reta tangente) em x0 é
L(x)=C(30)+C'(30),(x-30)

Passo 4

Para x=30,5 temos De<a x=0,5 e
L(30,5)=4600+303cdot0,5=4600+151,5=4751,5

Resposta

O custo total aproximado para 30,5 unidades é de aproximadamente 4751,5 reais.

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