Dada a função f(x)=log (2 x+43 x), determine para que valores de x tem-se f(x)<1.

Passo 1

Temos a função
f(x)=log!gl(2x+43xgr)
e queremos achar os x tais que f(x)<1. Primeiro identificamos o domínio exigindo que o argumento do log seja positivo:
2x+43x>0
Isso ocorre se x>0 e 2x+4>0 (ou seja, x>0), ou se x<0 e 2x+4<0 (ou seja, x<-2). Logo o domínio é
x<-2ou x>0

Passo 2

Agora resolvemos a desigualdade
log!gl(2x+43xgr)<1
Assumindo que log é o logaritmo natural, exponenciamos ambos os lados (função e^y é crescente):
2x+43x<e

Passo 3

Tratamos separadamente as duas partes do domínio:
Caso 1: x>0.
Multiplicamos por 3x>0 sem inverter sinal:
2x+4<3e,x ;Longrightarrow; 2x-3e,x+4<0 ;Longrightarrow; x(2-3e)<-4
Como 2-3e<0, ao dividir por esse coeficiente invertemos o sinal e obtemos
x>43e-2
Como 43e-2>0, a solução em x>0 fica
x>43e-2
Caso 2: x<-2.
Aqui 3x<0, então ao multiplicar pela desigualdade invertemos o sinal:
2x+4>3e,x ;Longrightarrow; 2x-3e,x+4>0 ;Longrightarrow; x(2-3e)>-4
Dividindo por 2-3e<0 (inverte sinal) dá
x<43e-2
Mas como todo x<-2 já satisfaz x<tfrac43e-2 (pois tfrac43e-2approx0,65), a solução neste ramo é simplesmente
x<-2

Passo 4

Juntando as duas partes do domínio em que a desigualdade vale, concluímos que
x<-2 ou x>43e-2

Resposta

(-infty,-2);cup;l(tfrac43e-2,,inftyr)

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