Uma bateria perde permanentemente sua capacidade ao longo dos anos. Essa perda varia de acordo com a temperatura de operação e armazenamento da bateria. A função que fornece o percentual de perda anual de capacidade de uma bateria, de acordo com a temperatura de armazenamento, , tem a forma , em que e são constantes reais positivas. A tabela a seguir fornece, para duas temperaturas específicas, o percentual de perda de determinada bateria de íons de lítio.
Temperatura
Perda anual de
capacidade (%)
0 1,6
55 20,0
Com base na expressão de e nos dados da tabela,
a) esboce a curva que representa a função , exibindo o percentual exato para e ;
b) determine as constantes e para a bateria em questão.

Passo 1

O enunciado descreve um modelo exponencial para a perda anual de capacidade de uma bateria em função da temperatura de armazenamento T (em circC):
P(T)=acdot 10^bT,
onde P(T) é o percentual de perda e a,b>0. Temos os dados
P(0)=1,6e P(55)=20,0
Precisamos (a) esboçar a curva P(T) mostrando os pontos exatos em T=0 e T=55, e (b) determinar a e b.

Passo 2

Usando P(0)=1,6, note que
P(0)=acdot10^bcdot0=acdot1=a,
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a=1,6

Passo 3

Agora use P(55)=20,0. Substituindo a=1,6 em P(55)=acdot10^55b
1,6cdot10^55b=20 Longrightarrow 10^55b=201,6=12,5

Passo 4

Para achar b aplicamos logaritmo de base 10 em ambos os lados:
55b=log10(12,5) Longrightarrow b=log10(12,5)55approx1,0969155approx0,01994

Passo 5

Para esboçar P(T):
  • No eixo horizontal coloque T de 0 a 60circC.
  • No vertical coloque P de 0 % a 20 %.
  • Marque o ponto (0,1,6) e o ponto (55,20).
  • Ligue-os com uma curva exponencial crescente, mais suave no início e subindo mais rápido à medida que T aumenta.

Resposta

a) A curva de P(T)=1,6cdot10^0,01994,T é uma exponencial crescente, passando por (0,1,6) e (55,20).
b) a=1,6 e b=dfraclog10(12,5)55approx0,01994.

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