Dada a reta y=x+k e o círculo x^2+y^2=9, determine k tal que:
(a) sejam secantes;
(b) sejam tangentes.

Passo 1

O enunciado dá uma reta y = x + k e um círculo x^2+y^2=9. Queremos encontrar os valores de k tais que a reta corte o círculo em dois pontos (secantes) ou em exatamente um ponto (tangente). O conteúdo envolvido é geometria analítica: substituir a reta na equação do círculo e analisar o discriminante de uma equação quadrática.

Passo 2

Substituindo y = x + k em x^2+y^2=9, obtemos
x^2 + (x+k)^2 = 9
x^2 + x^2 + 2kx + k^2 - 9 = 0
2x^2 + 2kx + (k^2-9) = 0

Passo 3

Dividindo por 2, a equação quadrática em x fica
x^2 + kx + k^2-92 = 0
O discriminante é
De<a = k^2 - 4cdot 1cdot k^2-92 = k^2 - 2(k^2-9) = 18 - k^2

Passo 4

Para que a reta seja secante ao círculo, precisamos de duas soluções em x, ou seja De<a>0. Assim
18 - k^2 > 0 Longrightarrow k^2 < 18 Longrightarrow -!3raiz2 < k < 3raiz2

Passo 5

Para que a reta seja tangente ao círculo, precisamos de uma única solução em x, ou seja De<a=0. Logo
18 - k^2 = 0 Longrightarrow k^2 = 18 Longrightarrow k = pm 3raiz2

Resposta

(a) Secantes para -3raiz2 < k < 3raiz2.
(b) Tangentes para k = pm 3raiz2.

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